Excelで「スパイラル・アート」を！

算数・物理・数学トピック

公開日

2021年3月18日

更新日

2021年3月18日

こんにちは。和からの数学講師の岡本です。今回はExcelを使った「らせん」模様のアート「スパイラル・アート」についてお話ししていこうと思います。そのためにまず、「らせん」が何なのかを説明していきます。

この記事の主な内容

１．らせんとは

みなさんは「らせん」と聞くと「らせん階段」などを思い浮かべるかもしれません。

あるいは、らーめんの具の中にあるナルトの「うずまき模様」を思い浮かべるかもしれません。
どちらも「らせん」といわれる図形ですが、3次元か2次元かという大きな違いがあります。

２．２つの「らせん」

実はらせん階段のような3次元の「らせん」は英語で「Helix」といい、2次元の「らせん」は英語で「Spiral」といいます。「Helix」はギリシャ神話にでてくる「ヘリケ―」が語源で、ゼウスにより北斗七星に変えられたという話があります。その北斗七星は、周極星といわれ、地球のある位置から眺めると、常に夜空を旋回するような軌道になっています。「ヘリコプター」の「ヘリ」も同じ語源です。
「旋回」の「旋」の字でピンときた方もいらっしゃるかもしれません。実は日本語でも3次元の「らせん」は「螺旋」、2次元の「らせん」は「螺線」と区別されています。

３．Excelで螺線を描いてみる

ということで、2次元の「螺線」をExcelで描いてみます。そもそも螺線とは、角度の変化により半径が単調に変化するものをいいます。半径が変化しないときは同じところをぐるぐる回るだけなので円となり、だんだん大きく（または小さく）なるような曲線が螺線となります。そしてExcelを使うと、半径の変化を自由にカスタマイズすることが可能です。例えば、\(r=a\theta+b\)という「1次式（直線の式）」の場合、アルキメデス螺線ができます。らーめんのナルトや蚊取り線香と同じ模様ですね。

また、\(r=a^\theta\)のような指数関数の場合、ベルヌーイ螺線という螺線になります。

美しいですね。この曲線を発見したヤコブ・ベルヌーイはこの美しい曲線を自分のお墓に刻んでほしいとお願いしたそうですが、墓石屋さんは螺線に詳しくないため、結局アルキメデス螺線が刻まれたそうです。。。
さらに、\(r=\sqrt{\theta}\)といった平方根を使う式の場合はフェルマー螺線（放物螺線）という螺線ができます。

なお、この螺線の角度をうまく設定し、点だけを描写するとひまわりの種のような模様もできあがります！ファビュラスですね。。。！
なお、この他の螺線としてクロソイド曲線（オイラー螺線）というものも作成可能です。

クロソイド曲線については以前マスログで紹介しましたので、こちらも併せてご覧ください。

高速道路の美しい曲線―安全運転のための数学―

４．変わった曲線

ここまでお話した「螺線」という曲線は、「半径が単調に変化する」というものでした。この部分を少し変えて、単に「半径が変化する」というものを考えてみました。つまり、上がったり下がったりという、サイン、コサインのような振動を許した関数を半径として考え、Excelで適当に作ってみました。もはや「螺旋」ではありませんが、少し変えただけでここまで多様な表現ができることは驚きです。