$q$-二項定理の証明 | 数学・統計教室の和から株式会社

$q$ -二項定理の証明

ロマンティック

公開日

2021年11月17日

更新日

2021年11月17日

こんにちは。和からの数学講師の岡本です。前回は $q$ -二項定理を使った二項定理の天下り的な証明をご紹介しました。

今回は「 $q$ -二項定理の証明」を解説していきたいと思います。

この記事の主な内容

１． $q$ -二項定理とは

まずは復習として $q$ -二項定理の主張を記しておきます。

( $q$ -二項定理)

$\begin{align*} (1+x)(1+qx)\cdots(1+q^{n-1}x)=\sum_{k=0}^n\frac{(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q^{n-k+1})}{(1-q^k)(1-q^{k-1})\cdots(1-q)}q^{\frac{1}{2}k(k-1)}x^k \end{align*}$

パラメータ $q$ は $|q|<1$ としておきましょう。そして、 $q\to1$ という極限を考えることで、上の等式は

$\begin{align*} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k \end{align*}$

となり、二項定理が得られます。つまり、 $q$ -二項定理とは、二項定理の一般化（ $q$ -変形）と考えることができます。

２．オイラーの計算

$q$ -二項定理の証明に入る前に、天才数学者レオンハルト・オイラーの計算をご紹介します。オイラーが計算した以下のような無限積の計算が $q$ -二項定理証明のカギになっています。

$\begin{align*} f(x):=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-q^nax}{1-q^nx}=\frac{(1-ax)(1-qax)(1-q^2ax)\cdots}{(1-x)(1-qx)(1-q^2x)\cdots}. \end{align*}$

この関数 $f(x)$ を展開したときの $x^n$ の係数を $A_n$ とします。つまり

$\begin{align*} f(x)=A_0+A_1x+A_2x^2+A_3x^3+\cdots \end{align*}$

この係数 $A_n$ を求めてみましょう。まず、 $A_0=1$ なのは積の形からすぐに分かります。また、 $f(x)$ の定義により

$\begin{align*} f(x)=\frac{1-ax}{1-x}f(qx)\Longleftrightarrow (1-x)f(x)=(1-ax)f(qx) \end{align*}$

であることがわかります。これにより、右辺と左辺の係数比較を行うことにより

$\begin{align*} A_k=\frac{1-q^{k-1}a}{1-q^k}A_{k-1}=\cdots=\frac{(1-a)(1-qa)\cdots(1-q^{k-1}a)}{(1-q^k)(1-q^{k-1})\cdots(1-q)} \end{align*}$

となり、これにより

$\begin{align*} f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1-a)(1-qa)\cdots(1-q^{k-1}a)}{(1-q^k)(1-q^{k-1})\cdots(1-q)}x^k \end{align*}$

が得られました。

３． $q$ -二項定理の証明

それではいよいよ $q$ -二項定理の証明に入ります。まず、先ほどの関数 $f(x)$ に対して、 $x$ を $-x/a$ と置き換えます。

$\begin{align*} \frac{(1+x)(1+qx)(1+q^2x)\cdots}{(1+x/a)(1+qx/a)(1+q^2x/a)\cdots}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1-a)(1-qa)\cdots(1-q^{k-1}a)}{(1-q^k)(1-q^{k-1})\cdots(1-q)}(-x/a)^k \end{align*}$

次に、 $a$ を $q^{-n}$ に置き換えます。すると

$\begin{align*} \frac{(1+x)(1+qx)(1+q^2x)\cdots}{(1+q^nx)(1+q^{n+1}x)(1+q^{n+2}x)\cdots}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1-q^{-n})(1-q^{-n+1})\cdots(1-q^{-n+k-1})}{(1-q^k)(1-q^{k-1})\cdots(1-q)}x^k(-1)^kq^{nk} \end{align*}$

となり、左辺の無限積は分母が約分により消え、有限積になります。同時に右辺も $x^{n+1}$ 以降の係数が $0$ になることから有限和になります（ $k>n$ のとき、係数の分母に $(1-q^0)$ が現れるため）。

$\begin{align*} (1+x)(1+qx)(1+q^2x)\cdots(1+q^{n-1}x)&=\sum_{k=0}^{n}\frac{(q^n-1)(q^{n-1}-1)\cdots(q^{n-k+1}-1)}{(1-q^k)(1-q^{k-1})\cdots(1-q)}q^{1+2+\cdots+(k-1)}x^k(-1)^k\\ &=\sum_{k=0}^{n}\frac{(1-q^n)(1-q^{n-1})\cdots(1-q^{n-k+1})}{(1-q^k)(1-q^{k-1})\cdots(1-q)}q^{\frac{1}{2}k(k-1)}x^k \end{align*}$

したがって、 $q$ -二項定理が証明できました！

４．さいごに

いかがでしたでしょうか？前回は「二項定理」を証明するために一般化である「 $q$ -二項定理」を用いて証明しました。しかし、今回ご紹介したように二項定理を直接経由せずに $q$ -二項定理を証明することができます。このように、【「Ａ」を証明するのに「Ａ」の一般化である「Ａ’」を利用すること】はなんだか変な感覚かもしれませんが、数学ではしばしば起こります。「一般化」や「抽象化」することで初めて気づくことや、他分野とつながることは数学の研究、学習において非常に重要であると考えられますし、これは数学だけの話ではないと個人的には思っています。ものごとを１つ、２つ上に一般化して捉え、考えていくことは日常生活でも大切です。

今回の参考文献はこちらです。オイラーの無限解析に関するお話や、バーゼル問題、 $q$ -二項定理や分割数など、おもしろい話題が詰まっています！

オイラーに学ぶ―『無限解析序説』への誘い野海正俊(著) 日本評論社