【難関】モーリーの定理の証明－アラン・コンヌによる代数的証明－

ロマンティック

公開日

2021年2月14日

更新日

2024年7月14日

こんにちは。和からの数学講師の岡本です。以前、モーリーの定理を紹介し、三角比を使った証明を解説しました。今回は1982年に“数学界のノーベル賞”とも言われるフィールズ賞を受賞した天才数学者アラン・コンヌによる「代数的な別証明」の概説をしていこうと思います。（※もちろんですが、モーリーの定理の別証明がフィールズ賞受賞理由ではありません。）
なお、コンヌによる証明は以下のURLから読むことができます。きちんと内容を理解したい方はこちらをご覧ください！

http://www.numdam.org/item/PMIHES_1998__S88__43_0.pdf

この記事の主な内容

１．モーリーの定理（再掲）

ひとまず、モーリーの定理の主張を述べます（詳しくは過去のマスログをご覧ください)

定理（フランク・モーリー,1899）
任意の三角形の各頂点から、角の3等分線を伸ばす。
２つの頂点の隣り合う3等分線の交点を結ぶと正三角形ができる。

いやー！何度見ても美しいですね！！
このシンプルな結論の美しさにコンヌも魅了され、証明を一生懸命考えたのでしょう。

２．不動点という視点

例のように各頂点から3等分線を引きます。こうしてできた「交点」をコンヌは「ある変換の不動点」と考えました。なかなか思いつかない発想ですよね…！
ここでいう変換というのは「回転」や「平行移動」、またそれらの組み合わせを意味します（「運動」と表現するとわかり易いかもしれません）。
実際に、点Aを中心に $2\alpha$ 回転させる変換を $g_A$ 、点Bを中心に $2\beta$ 回転させる変換を $g_B$ 、点Cを中心に $2\gamma$ 回転させる変換を $g_C$ としましょう。三角形ABCに関して $g_A$ の変換を行うと、もちろんですが回転の中心Aだけ動きません。このような、変換しても動かない点を不動点と呼び、変換 $S$ の不動点を $\text{Fix}(S)$ と書くことにします。では、変換 $g_A$ の後に変換 $g_B$ を続けて行う合成変換 $g_Ag_B$ を考えましょう。

この変換で動かない点が実は上図の交点Eなのです。つまり、

$\begin{align*} \text{Fix}(g_Ag_B)=E \end{align*}$

となります。もうひとつ面白い変換を考えてみましょう。それは、変換 $g_A$ を3回行い、変換 $g_B$ を3回を行い、さらに変換 $g_C$ を3回行うという合成変換 $g_A^3g_B^3g_C^3$ を考えます。実際に三角形全体を動かしてみたのが下図です。

なんということでしょう！三角形は元に位置に戻ってきました！つまり、合成変換 $g_A^3g_B^3g_C^3$ は変換を行わない「恒等変換」だったということがわかりました。このような図形や空間を「変換する」という操作全体の集合は数学における「群」という構造を持ちます。コンヌはこの群という概念を使った「代数的手法」でモーリーの定理の証明を試みたのです。

３．コンヌの定理とモーリーの定理

まず、モーリーの定理の証明のために、コンヌが示した一般的な形の定理を紹介します。そのためにいくつか準備をしておきましょう。

体という四則演算が大体不自由なくできる集合 $k$ を考え、その上のアフィン群 $G$ を考えます。言い換えると、 $x\in k$ に対して、 $a\in k^{\times}=k\setminus\{0\}$ と $b\in k$ を用いて

$\begin{align*} x\mapsto ax+b \end{align*}$

という変換全体の集合が $G$ となります。ざっくりいうと、「 $a$ 倍」というのは「回転と拡大・縮小」を表し、「 $+b$ 」というのは「平行移動」を表します。そこで、上のような変換を $g\in G$ とし、この変換の「回転と拡大・縮小」の情報だけを取り出す対応 $\delta:G\longrightarrow k^{\times}$ を考えます。つまり $\delta(g)=a$ と定義します。この対応 $\delta$ により、 $1\in k^{\times}$ に送られるような $G$ の元の集合を $T$ とします（つまり、 $T=\mathrm{Ker}(\delta)$ ）。 $T$ は平行移動のみの変換となることがわかります。これでコンヌの定理を述べる準備ができました。

定理（アラン・コンヌ）
体

$k$ 上のアフィン群

$G$ の元

$g_1, g_2, g_3$ を考える。ただし、

$g_1g_2, g_2g_3, g_3g_1, g_1g_2g_3$ はどれも平行移動でないとする。また、

$j:=\delta(g_1g_2g_3), \alpha :=\text{Fix}(g_1g_2),\beta :=\text{Fix}(g_2g_3),\gamma :=\text{Fix}(g_3g_1)$ と表す。このとき次の(1)と(2)は同値となる。

(1) $g_1^3g_2^3g_3^3=1$ （ただし、 $1$ は恒等変換を意味する）

(2) $j^3=1$ であり、 $\alpha +j\beta+j^2\gamma=0$

もともとのモーリーの定理からかなりかけ離れた内容になってきました。そもそも何をいってるのかわからなくなってきそうですね（笑）。

コンヌの定理の証明は論文（http://www.numdam.org/item/PMIHES_1998__S88__43_0.pdf）あるいはかの有名なブログINTEGERS（http://integers.hatenablog.com/entry/2017/08/30/022712）にて解説があるので興味のある方はご覧ください。

さて、コンヌの定理における体 $k$ を複素数の集合 $\mathbb{C}$ で考えます。すると面白いことに、最初に考察した変換 $g_A,g_B, g_C$ が全てアフィン群の元で、コンヌの定理の $g_1, g_2, g_3$ として具体的に計算することができます。つまり、点A～Fまでを複素平面上の点と考えるとことで、 $\text{Fix}(g_Ag_B)=E, \text{Fix}(g_Bg_C)=F, \text{Fix}(g_Cg_A)=D$ であり、さらには（１）の条件 $g_A^3g_B^3g_C^3=1$ が成り立っています。つまり、 $j^3=1$ なる複素数 $j$ を使って、以下が成り立ちます。