プラスチック数と3次方程式

ロマンティック

公開日

2021年11月24日

更新日

2021年11月24日

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こんにちは。和からの数学講師の岡本です。前回に引き続き、「プラスチック数」についてもう少し掘り下げていきたいと思います。前回の記事がこちら。

魅惑の比率「プラスチック比」をご存じですか？

この記事の主な内容

１．プラスチック比とは(復習)

前回は正方形を3つ相似な長方形で分割する方法を考えました。分割の方法は大きく分けて3通りあり、1つ目は「3等分」、2つ目は「1:3/2」の長方形を使う方法、そして3つ目では、プラスチック数\(\rho=1.3247\ldots\)が現れる、というものでした。

今回の記事では、このあたりをもう少し詳しく、数学的に説明していきたいと思います。

２．プラスチック数の登場

先ほどの長方形分割の話ですが、相似な長方形が大中小と3種類使われています。そこで、中サイズの長方形の短辺を1、長辺を\(a\)とおきましょう。また、大きいサイズは中サイズの\(x\)倍、小サイズは中サイズの\(y\)倍であるとしましょう。これらの設定を図にまとめてみます。

この設定における\(x\)を具体的に求めていきましょう。まず、全体が正方形であることから

\begin{align*}
ax=x+1.
\end{align*}

また、敷き詰められていることから

\begin{align*}
a+y=ax, ay=1
\end{align*}

が成り立ちます。これら3つ式を使ってうまく\(x\)のみの式にすると、最終的に以下のような3次方程式が得られます。

\begin{align*}
x^3=x+1.
\end{align*}

何を隠そう、この方程式の実数解こそがプラスチック数\(\rho\)なのです！

３．３次方程式を解こう

2次方程式なら中学や高校で習う「解の公式」ですぐに求められますが、3次方程式は難しそうです。しかし、高校までで習いはしませんが、3次方程式にも「解の公式」が存在します。この話だけで記事は2つぐらいかけそうなので、今日はあまり深入りはせずにサクッと解いてみましょう。まず、解きたい方程式は

\begin{align*}
x^3-x-1=0
\end{align*}

です。次に\(x=u+v\)とおくと

\begin{align*}
(u+v)^3-(u+v)-1=u^3+v^3-1+(3uv-1)(u+v)=0
\end{align*}

となりますが、もし条件

\begin{align*}
u^3+v^3-1=0\\
3uv-1=0
\end{align*}

を満たす\(u,v\)が求められれば\(u+v\)は考えている方程式の解になります（また、\(y=x^3-x-1\)の関数の形を考えると実数解をただ1つ持つことがわかるので1つでも条件を満たす\(u, v\)が求められれば\(u+v\)が求める実数解になります）。そしてこの条件は

\begin{align*}
u^3+v^3=1\\
u^3v^3=\frac{1}{27}
\end{align*}

と書き換えられるので、\(u^3, v^3\)は2次方程式\(X^2-X+1/27=0\)の解となります。これは2次方程式の解の公式により

\begin{align*}
X=\frac{1\pm \sqrt{1-4/27}}{2}=\frac{1\pm \sqrt{23/27}}{2}=\frac{9\pm \sqrt{69}}{18}.
\end{align*}

したがって、求める実数解\(x\)は上の2次方程式の解それぞれの3乗根を使って

\begin{align*}
x=\sqrt[3]{\frac{9+\sqrt{69}}{18}}+\sqrt[3]{\frac{9-\sqrt{69}}{18}}=1.324717957\ldots
\end{align*}

と表せます（このような解法を「カルダノの解法（公式）」といいます）。実はこの値こそ、プラスチック数なのです！このように、3次方程式\(x^3-x-1=0\)の実数解としてプラスチック数を特徴付けることができました。これはちょうど黄金比が\(x^2-x-1=0\)という2次方程式に対応しているのと似ています。

４．値を使って正方形を分割してみよう

ここまでの計算で\(x=\rho\)（プラスチック数）であり、\(\rho^3=\rho+1\)を満たすことがわかりました。では、先ほどの設定における、\(a, y\)を求めてみましょう。まず\(a\)は

\begin{align*}
a=\frac{x+1}{x}=\frac{\rho^3}{\rho}=\rho^2
\end{align*}

であり、\(a=\rho^2\)であることがわかります、また、\(y=1/x=\rho^{-2}\)であることもすぐにわかります。\(\rho^2=1.7548\ldots\)、\(\rho^{-2}=0.5698\ldots\)であることから、1cm×1.7548cmの長方形と、約1.3247倍（\(\rho\)倍）した大きな長方形と約0.5698倍（\(\rho^{-2}\)倍）した小さな長方形を組み合わせるとうまく正方形を3分割できます。