大人の教養数学｜有限体の楕円曲線と「虚数乗法」の世界

この講座は、楕円曲線を有限体（mod p の世界）の上で考える、一歩進んだ内容です。実数の上ではなめらかな曲線だった y²＝x³＋… も、mod p の世界では、上下対称に散らばる"有限個の点"に変わります。その点の個数を数えることや、虚数乗法（CM）という特別な対称性が、暗号や整数論の深いカギになります。よくあるつまずきが、有限体の"わり算"や点の数え方。小さい素数の具体例で少しずつ慣れていきます。

「なめらかな曲線」から「点の集まり」へ ― 見え方が変わると、数論と暗号の新しい景色が開けます。学ぶと、次のようなものに出会えます。

• 暗号の心臓部
  楕円曲線暗号の"点の個数"と安全性のしくみ
• 整数論
  保型形式・数論との深いつながり
• 教養・美しさ
  有限の世界に現れる規則の美しさ

虚数乗法は、整数論・暗号・現代数論幾何をつなぐ、精妙で美しいテーマです。

なお、楕円曲線の基礎（点の足し算）に触れているとスムーズです。必要なら、そこから復習しながら進められます。

よくある質問

Q．「楕円曲線入門」との違いは何ですか？
A．入門は実数の上での点の足し算が中心です。本講座は"有限体の上"での点の個数や虚数乗法という、一歩進んだ話を扱います。

Q．有限体とは何ですか？
A．時計のように"ぐるっと回る"有限個の数の世界（mod p）です。たし算・かけ算・わり算ができます。具体例から慣れます。

Q．虚数乗法（CM）とは何ですか？
A．一部の楕円曲線がもつ特別な対称性です。点の個数や、暗号・数論の深い性質に効いてきます。

Q．難しそうですが大丈夫ですか？
A．小さな素数の例で実際に手を動かすので、抽象論だけに溺れず核心へ進めます。

このテーマを含むコース全体（料金・受講の流れ・講師のご紹介）は、ロマンのための数学 個別指導のページでご案内しています。

※内容はお客様のご要望等によって変更することがあります。

・楕円曲線の"次の一歩"に進みたい方
・有限体上の楕円曲線や点の個数に興味がある方
・楕円曲線暗号の数学的な中身を知りたい方
・虚数乗法や整数論の深みに触れたい方
・知的好奇心から現代数論を楽しみたい社会人の方

第1回 「有限体上の有理点、Hasse-Weilの定理、ガロア理論入門①」
第2回 「ガウスの定理、ガウス和の導入、ガロア理論入門②」
第3回 「ガウスの定理の証明、ガロア理論入門③」
第4回 「有限位数の点、ガロア理論入門④」
第5回 「楕円曲線を使った因数分解アルゴリズム、ガロア理論入門⑤」
第6回 「楕円曲線を使った因数分解アルゴリズム②、ガロア理論入門⑥」
第7回 「有理数体上のアーベル拡大、3次曲線の代数的な点」
第8回 「Galois表現」
第9回 「虚数乗法」
第10回 「Q(√-1)のアーベル拡大」