大人の教養数学｜微分トポロジー ― カップとドーナツが「同じ」世界

微分トポロジーは、なめらかな図形を「伸ばす・曲げる」で移り合えば"同じ"とみなす幾何です。有名なのが「コーヒーカップ＝ドーナツ」――どちらも穴が1つだから、同じ仲間。図形は穴の数（種数）で分類できます。よくあるつまずきが、この"同じ"の意味が独特なこと ― 切ったり貼ったりはダメ、伸ばすのはOK、というルールを最初につかむのがコツです。

低い次元で"形をこねる"感覚を養うと、やがて目に見えない高次元の世界も"感じられる"ようになります。学ぶと、次のようなものに出会えます。

• 形の見方
  穴の数で図形を分ける発想（位相不変量）
• 高次元
  目に見えない高次元の世界を"感じる"
• 教養・美しさ
  物理やデータ解析のトポロジカルな見方へ

微分トポロジーは、幾何・物理・データ科学に通じる"形の直観"を育ててくれます。

なお、予備知識は必要ありません。式よりも、粘土のように形をこねるイメージを中心に進めます。

よくある質問

Q．ポアンカレ予想と何が違うのですか？
A．ポアンカレは"単連結なら球面"という特定の主張です。本講座は"穴の数で形を分ける"というトポロジー全体の見方・感覚を、広く養います。

Q．なぜカップとドーナツが同じなのですか？
A．どちらも穴が1つ（取っ手／ドーナツ穴）だからです。粘土のように連続変形で移り合うので、同じ仲間とみなします。

Q．高次元なんて想像できますか？
A．完全に"見る"のは難しいですが、低い次元からの類推で"感じる"ことはできます。その感覚づくりが目標です。

Q．数学が苦手でも大丈夫ですか？
A．はい。式より、形をこねるイメージが中心です。好奇心があれば十分に楽しめます。

このテーマを含むコース全体（料金・受講の流れ・講師のご紹介）は、ロマンのための数学 個別指導のページでご案内しています。

※内容はお客様のご要望等によって変更することがあります。

・「カップ＝ドーナツ」の意味をちゃんと知りたい方
・トポロジー（位相幾何）の感覚を養いたい方
・目に見えない高次元の世界を"感じて"みたい方
・穴の数・種数など、形の見方に興味がある方
・知的好奇心から現代幾何を楽しみたい社会人の方

・多様体、滑らか、微分同相写像、助変数化（パラメトリゼーション）、座標関数、部分多様体、立体射影、積写像、対角集合、グラフ
・連鎖律、可換図式、接空間、接ベクトル、曲線、速度ベクトル
・逆関数定理、はめ込み、固有写像、埋め込み
・しずめ込み、逆像、正則値、逆像定理、臨界値、（関数の）独立、余次元、レコードの積み重ね定理
・横断的、レフシェッツ不動点、レフシェッツ写像
・ホモトープ、ホモトピー、ホモトピー類、安定的、安定類、安定性定理、弧状連結、可縮、単連結
・Sardの定理、測度零、非退化臨界点、Morseの補題、Morse関数
・導関数写像、１の分割、Whitneyの埋め込み定理、ベクトル場、切断、零点
・実射影平面RP^2が3次元空間R^3に埋め込めないこと、「The Inscribed Rectangle Problem」