大人の数学やり直し｜ガロア理論で「5次方程式が解けない理由」を知る

ガロア理論は、方程式が「べき根（√）で解けるか」を、解のもつ"対称性"から判定する理論です。2次・3次・4次には解の公式がありますが、5次以上には一般に存在しません。その理由が、5次方程式の解を入れ替える対称性（ガロア群 S₅）が"複雑すぎて"べき根では崩せないこと。よくあるつまずきが、この結論だけを知って「なぜ」が謎のまま残ってしまうことです。

「対称性が解けるかどうかを決める」という発想は、20歳で世を去った天才ガロアがのこした、数学史上もっとも美しいアイデアの一つです。学ぶと、次のようなものが得られます。

• 数学の"なぜ"
  「解の公式がない」の本当の理由が分かる
• 代数・整数論
  群・体の理論を"使って"味わえる
• 教養・美しさ
  数学史に残る発想の美しさに触れる

ガロア理論は、群論・体論の集大成であり、現代数学へとつづく扉です。

なお、群・体の初歩に触れているとスムーズですが、必須ではありません。必要な基礎から並行して学べます。

よくある質問

Q．なぜ5次だけ解けないのですか？
A．解を入れ替える対称性（群）が、5次から急に"べき根で崩せない"構造になるからです。図と具体例で丁寧に解きほぐします。

Q．群・体を知らなくても大丈夫ですか？
A．はい。必要な群・体の基礎から並行して学べます。ガロアの発想を軸に、無理なく積み上げます。

Q．何の役に立ちますか？
A．直接の実用というより、“なぜ解けないか”を理解する知的満足と、代数全体の見通しが得られます。

Q．有名な難所ですが挑戦できますか？
A．具体的な方程式と対称性の絵から入れば、核心はつかめます。つまずきやすい所を先回りして支えます。

大学数学をどう学び進めるかは、料金や受講の流れとあわせて大学数学・大学院対策 個別指導のページでご案内しています。

※内容はお客様のご要望等によって変更することがあります。

・「5次方程式に解の公式がない」理由を知りたい方
・群・体の理論が"何に効くのか"を体感したい方
・数学史上の名高い理論に挑戦したい方
・代数学の全体像を見通したい方
・知的好奇心から数学を深めたい社会人の方

1)対称性と、代数方程式の解の公式
・群論と方程式
・3次方程式，4次方程式の解法
・対称式の視点から見た3次方程式，4次方程式
2)体
・Q (√2)
・既約多項式
・ユークリッドの互除法と分母の有理化
・体K上の線形代数と次数公式
3)作図への応用
・作図可能な数
・倍積問題
・多項式の既約性判定法と角の三等分
・円積問題
4)ガロア理論の基本定理
・体の準同型
・K(α) からのK上の体の準同型
・体の自己同型とその個数の評価
・体の自己同型とガロアの基本定理
・ガロア拡大とガロア群の例
5)正17角形の作図
・1のn乗根と円分多項式
・正17角形
6)ガロアの定理
・有理関数体と対称式論の基本定理
・5次以上の方程式の解の公式
・ガロアの定理