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ガロア理論

  • モデルプラン:【発展】80分×20回

中学校で学ぶ二次方程式の解の公式は紀元前エジプトで計算法として使われており、7世紀のアラビアで現在のような公式として明示されました。同じように三次方程式、四次方程式にも解の公式があり、これらは16世紀のイタリアで発見されています。

四次方程式の解の公式の発見からおよそ250年以上も後にガロア、アーベルによって独立に「五次方程式には解の公式がない」という驚きの事実が証明されました。ガロア理論はこの時にガロアが用いた数学理論を後の時代に整理したものです。

ガロア理論を学ぶことで、五次方程式に解の公式がない理由、その意味を理解することができますが、ガロア理論は数論で道具としても活躍しますし、暗号理論にも応用されています。

ガロア理論は一言でいうと群と体の間の精緻な関係についての理論になりますが、それ自身とても美しくぜひ多くの方に学んでいただきたい数学分野です。

受講内容

まずはガロア理論の理解に必要な最低限の群論を学習します。

次に体の概念を学び、体の代数拡大、分離拡大、単拡大など様々な拡大を学びます。

その後体の上の自己同型写像を学び、そこからガロア群を定義します。ガロア対応と呼ばれる体とそのガロア群の対応関係を証明し、ガロア群を調べることで体の拡大の性質を取り出します。

代数方程式の可解性の証明のため巡回拡大、べき根拡大を学び、最後に五次方程式に解の公式が存在しないことの証明を行います。

※内容はお客様のご要望等によって変更することがあります。

受講対象

・大学のレポート問題が解けない方
・五次方程式に解の公式がないという意味を知りたい方
・抽象数学を学んでみたい方
・数論を学んでみたい方

モデルプラン

【80分×20回】

1)群の定義、部分群、剰余類群
2)巡回群、対称群
3)群の同型、準同型
4)可換群の基本定理、シローの定理
5)作図できる数、代数的進数
6)代数拡大
7)代数拡大体の次数
8)単拡大
9)有限体
10)分離多項式
11)体の同型、自己同型群
12)円分多項式
13)同型の延長、有限体の自己同型
14)ガロア拡大とガロア群
15)ガロア拡大と最小分解体
16)固定体と固定群
17)ガロア群の正規部分群
18)巡回拡大とべき根拡大
19)代数方程式の可解性
20)五次方程式の非可解性

※実際のプランはお客様のご要望等によって変更することがあります。

参考テキスト

担当講師

※別の講師が担当することもあります。