最初に複素数の四則演算の基本性質や、複素数を可視化する際に便利な複素平面を学んでいきます。

その後、これまで実数関数で慣れ親しんでいた三角関数や指数関数などの初等関数を複素変数として新しく定義をしていきます。例えばsinに複素数を入れることで絶対値が1より大きい実数だけでなく、任意の複素数が出力として現れることを確認します。

基本的な複素関数に慣れたらいよいよ複素関数を微分していきます。実数と違い複素数は二次元状に分布している数と思えるので微分ができるという条件も厳しくなります。そのため一度微分ができる関数はその点で無限回微分できるといった不思議な定理を学びます。

その後複素関数の積分である複素積分も新たに定義します。複素積分は実数関数の積分と違い出発点と到達点だけでなく、経路にも依存する積分になっており、積分路をパラメータ表示することで積分の値を計算していきます。

また、コーシーの積分公式や留数定理など複素積分に関連する様々な美しい定理を証明し、計算を通して実感を深めていきます。