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複素関数論

  • モデルプラン:【発展】80分×12回

中学数学から大学初年度の微積までに登場する関数y=f(x)はxもyも実数の範囲で考えていました。一方、高校では実数を内包するより広い数の体系である複素数を学びました。

複素関数論では関数の入力も出力も複素数に値を持つ関数、その名の通り複素関数を扱います。複素関数は変数を複素数にしただけのように思われますが、実数関数の時には思いもよらなかった美しい定理、驚きの定理が成り立ちます。そういった意味で複素関数論は非常に洗練された数学分野になっています。

また、複素数は想像上の数と訳されることもあり、現実的ではない数と誤解されることがありますが、複素関数を用いることで工学、理学に現れる応用的な実数関数の積分の値を求めることができます。その上、量子力学で有名なシュレーディンガー方程式も複素関数の微分方程式となっています。

本講座では基本的な微積は仮定するものの、理論として美しく、また応用も効く複素関数を一から学んでいきます。

受講内容

最初に複素数の四則演算の基本性質や、複素数を可視化する際に便利な複素平面を学んでいきます。

その後、これまで実数関数で慣れ親しんでいた三角関数や指数関数などの初等関数を複素変数として新しく定義をしていきます。例えばsinに複素数を入れることで絶対値が1より大きい実数だけでなく、任意の複素数が出力として現れることを確認します。

基本的な複素関数に慣れたらいよいよ複素関数を微分していきます。実数と違い複素数は二次元状に分布している数と思えるので微分ができるという条件も厳しくなります。そのため一度微分ができる関数はその点で無限回微分できるといった不思議な定理を学びます。

その後複素関数の積分である複素積分も新たに定義します。複素積分は実数関数の積分と違い出発点と到達点だけでなく、経路にも依存する積分になっており、積分路をパラメータ表示することで積分の値を計算していきます。

また、コーシーの積分公式や留数定理など複素積分に関連する様々な美しい定理を証明し、計算を通して実感を深めていきます。

※内容はお客様のご要望等によって変更することがあります。

受講対象

・大学のレポート問題、試験問題が解けない方
・量子力学、電気回路等に出てくる複素関数の学習が進まない方
・複素関数を数学的に楽しみたい方
・リーマン予想の意味を知りたい方

モデルプラン

【80分×12回】

・大学のレポート問題、試験問題が解けない方
・量子力学、電気回路等に出てくる複素関数の学習が進まない方
・複素関数を数学的に楽しみたい方
・リーマン予想の意味を知りたい方

※実際のプランはお客様のご要望等によって変更することがあります。

参考テキスト

担当講師

※別の講師が担当することもあります。