大人の数学やり直し｜群・環・体を「対称性」から入門する

群・環・体は、「演算のルール」そのものを研究する代数の土台です。出発点になるのが"群"――たとえば正三角形をそれ自身に重ねる操作（回転3つ＋鏡映3つ＝6個）の集まりが、りっぱな群になります。よくあるつまずきが、抽象的な公理からいきなり入って迷子になること。対称性やあみだくじといった身近な例から入るのがコツです。

「変えても変わらない」を数える視点に立つと、パズルも暗号も同じ言葉で見えてきます。学んだ考え方は、次のような場面で活きてきます。

• 対称性・パズル
  図形・結晶・ルービックキューブの対称性
• 暗号・符号
  暗号や誤り訂正符号（有限体・群の応用）
• 次の数学へ
  ガロア理論・整数論・現代幾何へ

群・環・体は、ガロア理論・整数論・現代幾何に共通する、抽象代数の言葉です。

なお、特別な予備知識は必要ありません。中学・高校の数学から、抽象代数への橋をていねいに渡していきます。

よくある質問

Q．群・環・体はどう違うのですか？
A．使える演算の広さで段階が上がります。群＝1種類の演算、環＝たし算とかけ算、体＝わり算まで自由。順にていねいに扱います。

Q．抽象的で難しそうです
A．対称性・あみだくじ・時計算などの具体例から入るので、公理の意味も納得しながら進めます。

Q．何の役に立ちますか？
A．暗号・誤り訂正・結晶構造・パズルなど、“対称性と構造”を扱う場面で使われます。

Q．予備知識は必要ですか？
A．いいえ。中学・高校の数学があれば、抽象代数への橋をていねいに渡れます。

大学数学をどう学び進めるかは、料金や受講の流れとあわせて大学数学・大学院対策 個別指導のページでご案内しています。

※内容はお客様のご要望等によって変更することがあります。

・「群・環・体」という言葉に興味や苦手意識がある方
・対称性やパズルの数学的な仕組みを知りたい方
・暗号・符号理論の土台を固めたい方
・ガロア理論や整数論に進む準備をしたい方
・大学の代数学を学び直したい社会人の方

1)整数
・基本的な性質
・合同式
・オイラーの関数，メビュースの関数
2)群
・群の定義と群の例
・部分群，一般結合法則
・巡回群，群の位数，元の位数
・部分群による類別
・正規部分群，剰余群
・準同型写像，準同型定理
・直積
3)環と体
・環
・環のイデアル・剰余環・有理整数環Ｚ
・環の準同型写像，準同型定理
・多項式環
・商体，一意分解整域
・有限体