タグチメソッドのSN比とは｜何と何の比なのかを望目・望小・望大の式で計算する

この記事のポイント

・SN比は、使用環境などが変わっても狙った性能を安定して出せる条件を選ぶための指標です。大きいほど良い向きに定義されています。
・目標値に合わせたい「望目」、小さいほどよい「望小」、大きいほどよい「望大」で式が異なります。まず目的と測る特性を決めます。
・平均が目標に近いことと、ばらつきが小さいことは別です。以下では架空の部品寸法の例から、平均とばらつきを分けて読む方法を説明します。
・タグチメソッドは実験計画法と対立するものではなく、誤差因子への頑健さを調べる実験の組み方と評価方法に特徴があります。
・dB差を標準偏差や損失の比へ換算するには、採用したSN比の定義、平均の調整方法、損失関数などの条件をそろえる必要があります。

SN比は何のために使うか｜部品寸法の例

例えば、目標が10.00mmの部品を作るとします。温度や湿度が変わっても寸法が大きく動かなければ、安定した製品を作りやすくなります。設計者が選べる材料や加工条件を制御因子、使用環境など実際には自由にそろえられない条件を誤差因子（ノイズ因子）と呼びます。

本記事の架空例では、条件1の測定値は10.20、9.85、10.35、9.60mmで平均10.00mm、条件2は10.42、10.30、10.50、10.38mmで平均10.40mmです。条件1は平均が目標どおりですが、測定値の広がりは条件2より大きくなっています。平均の位置と、条件が変わったときのばらつきを分けて見るのが出発点です。

望目特性のSN比は、おおまかには「平均の2乗」と「誤差分散」の比を対数で表します。条件2はSN比が高くても、平均が目標から外れたままでよいわけではありません。SN比を保ちながら平均を調整できるか、確認実験で確かめます。望小・望大特性では別の式を使うため、すべてのSN比を同じ比として読まないようにします。

1. SN比は何と何の比なのか｜3つの定義式

JIS Z 9061:2016は、SN比を「出力の変動のうち，有害な効果に対する有用な効果の比」と定義しています。有用な効果が分子、有害な効果が分母で、ここでいう有害な効果とは誤差因子（ノイズ）によって出力が動いてしまう分です。同じ規格の5.4.4〜5.4.6に、静特性の3つのSN比が式で書かれています。この記事はこの定義を採用します。

特性	目標	SN比の式（JIS Z 9061:2016）	分子・分母にあたるもの
望目特性 （目標値に合わせたい）	目標値 m に一致	η ＝ 10 log10[ (1/n)(Sm − Ve) ÷ Ve ]	分子＝平均の2乗の推定値 分母＝誤差分散 Ve
望小特性 （小さいほど良い）	0 に近づける	η ＝ −10 log10[ (y12＋…＋yn2) ÷ n ]	分子なし 0からの外れの2乗平均だけ
望大特性 （大きいほど良い）	∞ に近づける	η ＝ −10 log10[ (1/y12＋…＋1/yn2) ÷ n ]	分子なし 逆数の2乗平均だけ

望目特性の記号だけ補います。n個のデータ y₁〜y_n に対し、平均の変動 S_m ＝ (y₁＋…＋y_n)² ÷ n、全変動 S_T ＝ y₁²＋…＋y_n²、誤差変動 S_e ＝ S_T − S_m、誤差分散 V_e ＝ S_e ÷ (n − 1) です。ここで (1/n)(S_m − V_e) は母平均の2乗 μ² の不偏推定量で、V_e は σ² の不偏推定量です。だから η は μ²/σ² の推定値の対数、というのが式の中身になります。

なぜ対数をとってデシベルにするのか

10 log₁₀をとると比の掛け算を差として扱え、広い数値範囲をデシベル（dB）で比較できます。効果を足し合わせる予測には、さらに交互作用などの検討が必要です。望目特性で η ≒ 10 log₁₀(μ²/σ²) と近似でき、平均を同じ値にそろえて比較する場合、SN比が3 dB上がると標準偏差は約0.708倍、6 dBで約0.501倍、10 dBで約0.316倍に対応します。10 dBなら分散は約10分の1です。平均が異なる場合や望小・望大特性へ、この換算をそのまま使うことはできません。

2. 望目特性のSN比を数値で計算する

架空のデータで最後まで計算します。ある部品の寸法を目標値 m ＝ 10.00mm に合わせたい。設計条件を2つ用意し、それぞれ温度と湿度を組み合わせた4つの誤差条件（外側）で1回ずつ測定しました。n ＝ 4 です。

・条件1の測定値：10.20、9.85、10.35、9.60（mm）
・条件2の測定値：10.42、10.30、10.50、10.38（mm）

条件1は平均がぴったり10.00mmで優秀に見え、条件2は0.40mm高い側に外れています。ところがSN比では順位が逆になります。

計算ステップ	条件1	条件2	条件2を平均調整後
測定値の合計 T	40.00	41.60	—
全変動 ST ＝ Σyi2	400.3450	432.6608	—
平均の変動 Sm ＝ T2÷4	400.0000	432.6400	—
誤差変動 Se ＝ ST−Sm	0.3450	0.0208	—
誤差分散 Ve ＝ Se÷3	0.115000	0.006933	0.006410
標準偏差 √Ve（mm）	0.3391	0.0833	0.0801
平均（mm）	10.00	10.40	10.00
(1/4)(Sm−Ve)＝μ2の推定	99.9712	108.1583	—
SN比 η（db）	29.39	41.93	41.93
感度 S ＝ 10log10[(1/4)(Sm−Ve)]（db）	20.00	20.34	20.00
工程能力指数 Cp（規格10.00±0.50）	0.49	2.00	2.08

条件2のSN比は41.93 db、条件1は29.39 dbで差は12.54 db。標準偏差は0.3391mmと0.0833mmで、条件2は約4.07分の1に収まっています。平均が外れていても、ノイズに対する動じなさでは条件2が圧勝です。

なぜ「SN比が先、平均は後」なのか

JIS Z 9061は二段階の手順を示しています。第1段階でSN比が最大になる制御因子の水準を選び、第2段階で感度（平均）だけを目標値に調整する。条件2で言えば、平均を10.40mmから10.00mmへ動かす作業が第2段階です。

ここでは平均を調整すると全測定値が同じ倍率で変わり、標準偏差も比例して変わると仮定します。平均を10.00 ÷ 10.40 ＝ 0.9615倍にすると、標準偏差も0.0833mm → 0.0801mmになります。条件1の0.3391mmと比べて76.4%の低減で、C_pは0.49から2.08です。これは本例の調整モデルによる計算で、寸法なら常にこのように動くという意味ではありません。

平均だけで選ぶと、条件1のように「平均は合っているがばらつきが大きい」条件を見逃します。そこで、まずばらつきに強い条件を探し、その後で目標へ合わせる二段階を考えます。ただし、SN比を損なわず平均を調整できる因子があることを確かめる必要があります。調整するとばらつきまで悪化する場合には、条件を再検討します。

3. 望小特性・望大特性のSN比を数値で計算する

望小特性と望大特性には目標値がありません。式の中身は「損失の平均」の対数に負号をつけたもので、望小特性なら (1/n)Σy_i²、望大特性なら (1/n)Σ(1/y_i²)。負号は「大きいほど良い」向きに揃えるためです。摩耗量（mg、望小）と接着強度（N、望大）で3条件ずつ計算しました。

特性	条件	測定値（n＝4）	算術平均	式の中身	SN比 η（db）
望小特性 摩耗量（mg）	A（現行）	0.42, 0.55, 0.38, 0.61	0.490	Σyi2÷4 ＝ 0.24885	6.04
望小特性	B（ばらつきだけ改善）	0.46, 0.52, 0.48, 0.50	0.490	Σyi2÷4 ＝ 0.24060	6.19
望小特性	C（平均も下げた）	0.22, 0.26, 0.19, 0.25	0.230	Σyi2÷4 ＝ 0.05365	12.70
望大特性 接着強度（N）	A（現行）	48, 55, 41, 60	51.00	Σ(1/yi2)÷4 ＝ 0.00040932	33.88
望大特性	B（ばらつきだけ改善）	50, 52, 49, 53	51.00	Σ(1/yi2)÷4 ＝ 0.00038558	34.14
望大特性	C（平均も上げた）	55, 57, 54, 58	56.00	Σ(1/yi2)÷4 ＝ 0.00031964	34.95

同じ平均でも、ばらつきが小さいほうがSN比は高い

望小特性のAとBは算術平均がどちらも0.490mgで同じです。それでもBのほうが0.15 db高い。理由は式を分解するとわかります。(1/n)Σy_i² ＝ (平均)² ＋ (ばらつきの分散) なので、平均が同じならばらつきが小さいほうが値が小さく、SN比は高くなります。実際、Aは 0.2401 ＋ 0.00875、Bは 0.2401 ＋ 0.00050 でした。

望大特性も同じで、算術平均が同じ51.00NでもBのほうが0.26 db高くなります。逆数の2乗平均から実効的な強度に戻すと、Aは49.43N、Bは50.93N相当。ばらついている条件は平均が同じでも実力が低く評価されるという設計です。

望小・望大のSN比は平均の効きが圧倒的に大きく、ばらつきの差はdbでは小さく出ます。Cのように水準そのものを動かすと6.66 dbや1.07 db変わるのに対し、ばらつきだけの改善は0.15〜0.26 dbです。「SN比が上がった」と言うときは、標準偏差と併せて見ないと中身が区別できません。

4. 実験計画法との関係｜ノイズに強い条件を探す

タグチメソッドのパラメータ設計は、実験計画法の道具を使って使用条件が変わっても機能が安定する設計を探します。一般の実験計画法でもノイズ因子を実験に組み込めるので、「ノイズを振るかどうか」だけで両者を二分できません。内側・外側配列、SN比と感度、確認実験を組み合わせる進め方に注目すると関係を理解しやすくなります。

内側直交表と外側直交表

JIS Z 9061は2種類の配列を定義しています。内側配列は「設計パラメータが制御因子又は標示因子として割り付けられる実験計画」、外側配列は「SN比及び感度を評価するために，使用者の条件である変数がノイズ因子又は信号因子として割り付けられる実験計画」です。

つまり内側は設計者が決められるもの（材料、寸法、温度設定）、外側は決められないもの（気温、湿度、経時劣化、部品のばらつき）。内側の1行ごとに外側の全条件を実施し、そこで得られたデータからSN比を1つ計算します。前章の例で言えば、条件1・条件2が内側の2行、4つの誤差条件が外側です。

ノイズは規格では「システムの機能を乱す変数」と定義され、劣化などの内乱と環境条件などの外乱に分かれます。実務では回数が増えるのを避けるため、特性が低く出る条件をN₁、高く出る条件をN₂にまとめる「調合」がよく使われます。

観点	一般的な実験計画法で取りうる方法	タグチメソッドのパラメータ設計での代表的な方法
誤差因子の扱い	無作為化・ブロック化などで影響を管理する。ノイズ因子を実験に組み込むこともある	意図的に振る。外側配列に割り付けてわざと出す
直交表に載せるもの	目的に応じて主効果・交互作用を推定できる計画を選ぶ	内側は制御因子、外側はノイズ因子。交互作用や交絡にも注意する
主に見るもの	平均の差、ばらつき、応答曲面など目的に応じた特性	SN比（ばらつきに対する強さ）と感度
結論の出し方	分散分析・回帰・区間推定などで効果と不確かさを評価	要因効果図でSN比の高い水準を選び、確認実験で再現性を見る
最適化の順序	目的の応答が最良になる条件を探す	二段階。SN比を最大にしてから、感度を目標値へ調整
目的	効果の推定、予測、最適化、ロバスト化など	使用条件が変わっても機能が崩れない設計を作る（ロバスト化）
再現しなかったとき	誤差の見積もりや交互作用を疑う	特性値の選び方（基本機能）そのものを疑う

例えば「日ごとの差」をブロック因子として扱えば、平均の比較を精密にする助けになります。一方、日ごとの環境変化を意図的に組み込めば、その変化に鈍い条件を探せます。目的によって同じ変動の扱い方が変わるのであり、実験計画法とロバスト設計が逆向きの方法というわけではありません。

実験回数はどう変わるか

内側の各条件で外側の全条件を実施すると、回数は掛け算で増えます。標準的なL18は2水準の因子1個と3水準の因子7個を割り付けられる18行の直交表です。この8因子の総当たりは2 × 3⁷ ＝ 4,374通りで、内側の18行は約0.41%に当たります。誤差条件をN1・N2に調合すれば18 × 2 ＝ 36回、2水準の誤差因子3個を外側のL4に割り付ければ18 × 4 ＝ 72回です。回数を減らす代わりに交互作用の分離などに制約があるため、総当たりと同じ情報が得られるわけではありません。3水準8因子を標準L18へそのまま割り付けることはできません。

どこまでが定説で、どこからが論者による差か

この分野は評価が割れます。統計学の側からの代表的な検証が、Technometrics誌 第34巻第2号（1992年、V. N. Nair編、127ページ〜）のパネル討論で、主要な研究者が賛否を並べた記録になっています。

おおむね共有されている点は3つあります。誤差因子を実験に取り込むという発想には価値がある。ばらつきを平均とは別に評価対象にすべきである。まずロバスト性、次に目標合わせという二段階の枠組みは実務的に有効である。ここは争点になっていません。

論者によって割れる点も明確です。データを1つのSN比に要約してよいのか（情報が落ちる、変換として非単調である）。内側×外側の交差配列より、制御因子と誤差因子を1つの計画に混ぜる「組合せ配列」のほうが効率的ではないか。統計的検定を省いてよいのか。累積法などの独自の解析手法は妥当か。これらは決着していません。「タグチメソッドは統計学的に間違っている」「いや実務では正しい」という断定はどちらも言いすぎで、争点ごとに事情が違う、というのが正確なところです。

5. 損失関数｜規格内でも損失はゼロではありません

SN比の背景には損失関数があります。JIS Z 9061は「田口玄一の損失関数によれば，SN比を使用者の品質損失の金額に変換することができる」と述べています。式はL(y) ＝ k(y − m)²、比例定数は k ＝ A₀ ÷ Δ₀²。Δ₀は機能限界（使用者側の許容差）、A₀はそこでの損失額です。

先ほどの部品で計算します。目標10.00mm、機能限界 Δ₀ ＝ 0.50mm、そこまで外れたときの損失 A₀ ＝ 8,000円（交換と工賃）とすると、k ＝ 8,000 ÷ 0.50² ＝ 32,000円/mm²。1個あたりの損失は次のようになります。

・ずれ 0.05mm → 80円
・ずれ 0.10mm → 320円
・ずれ 0.20mm → 1,280円
・ずれ 0.40mm → 5,120円（規格10.00±0.50mmの内側でも、これだけ損失が出ている扱いになります）
・ずれ 0.50mm → 8,000円

従来の考え方では、規格の内側なら損失0円、外に1歩出た瞬間に全損、という段差になります。損失関数はこれを中心から離れるほど2乗で増える連続した曲線に置き換えます。ずれ0.40mmの部品を「規格内だから問題なし」と扱うか「5,120円分の損失を出荷している」と扱うか。ここが従来の品質管理との分かれ目です。

平均を目標へ合わせたときのSN比と損失の関係

ロットの平均損失は E[L] ＝ k(σ² ＋ (μ − m)²) で計算できます。第2章の3条件で出してみます。条件1は 32,000 × 0.1150 ＝ 3,680円/個。条件2は 32,000 ×(0.006933 ＋ 0.40²) ＝ 5,341.87円/個で、うち5,120円が平均のずれ、221.87円がばらつきによるものです。そして条件2を平均調整したあとは 32,000 × 0.006410 ＝ 205.13円/個まで落ちます。

条件1と「条件2調整後」の推定損失の比は3,680 ÷ 205.13 ＝ 約17.9倍です。この例では平均を同じ目標値へそろえ、同じ二乗損失の係数kを使っているので、SN比の差12.54 dBから得る10^12.54/10 ＝ 約17.9ともほぼ一致します。平均の目標からのずれや損失係数が違えば、dB差だけでは平均損失の比は決まりません。月産1万個なら差は約3,475万円と計算できますが、仮定した損失モデルによる評価であり、実際の現金支出削減を保証する値ではありません。

生産者の許容差を決める

損失関数は許容差設計にも使えます。工場内で手直しできる費用を A ＝ 500円とすると、生産者側の許容差は Δ ＝ Δ₀√(A ÷ A₀) ＝ 0.50 × √(500 ÷ 8,000) ＝ 0.125mm。市場で8,000円かかるものは工場内で500円のうちに直したほうが安い、という理屈です。図面の公差を勘ではなく金額から決められます。

まとめ

・SN比はノイズに対する安定性を比較する指標です。まず測定する特性と目標を決め、望目・望小・望大の式を選びます。
・望目特性では平均の位置とばらつきを分けて読みます。平均だけが目標どおりでも、安定した条件とは限りません。
・タグチメソッドは実験計画法と対立するものではありません。内側・外側配列などを使って、使用条件の変化に強い設計を探します。
・標準L18は2水準1因子＋3水準7因子の計画です。回数だけでなく、推定できる効果や交絡を確認します。
・平均調整でSN比を保てるかは確認が必要です。dB差の標準偏差・損失への換算にも、平均と損失モデルなどの条件があります。

最初は、手元の製品や工程で「何を安定させたいか」「どの使用条件で変動するか」を書き出してみてください。次に、設計者が選べる条件と実際にはそろえにくい条件を分けます。そこから特性値・SN比の定義・実験計画を選び、最後に確認実験で再現するかを確かめると、式と実務がつながります。

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<監修／和から株式会社 堀口智之>