大人の教養数学｜楕円曲線 ― グラフの点を「足す」ふしぎ

楕円曲線は、y²＝x³＋ax＋b という形のグラフの上に、点の"足し算"を定義できるふしぎな曲線です。2点 P, Q を通る直線が第3の点で交わり、それを上下に折り返すと P＋Q。この一見奇妙な足し算が、じつはとてもきれいな規則（群）になります。よくあるつまずきが「なぜこれが足し算なの？」という点。図で一歩ずつ追えば、ちゃんと納得できます。

計算というより"絵で追う"のが楽しい分野で、その先には暗号や数論の深い世界が広がっています。学ぶと、次のようなものに出会えます。

• 暗号
  楕円曲線暗号（ECC）― スマホやカードのセキュリティ
• 数論のロマン
  フェルマーの最終定理の証明にも登場
• 教養・美しさ
  幾何と数論が出会う美しい世界

楕円曲線は、整数論・暗号・現代幾何が交わる、現代数学の華です。

なお、高校の関数・座標が分かれば、絵を追いながら十分に楽しめます。むずかしい計算は最小限に、意味を大切に進めます。

よくある質問

Q．なぜ点を"足せる"のですか？
A．2点を通る直線と曲線の交点を使って、きれいな規則で新しい点を決めるからです。図で体感できます。

Q．暗号とどう関係するのですか？
A．この足し算を何度も繰り返すと"逆算"が非常に難しくなります。それが楕円曲線暗号の安全性の源です。

Q．数学が得意でなくても楽しめますか？
A．はい。計算より"絵で追う"のが中心なので、好奇心があれば十分に楽しめます。

Q．フェルマーの最終定理と関係がありますか？
A．はい。楕円曲線の深い性質が、350年の難問の証明の鍵になりました。その物語にも触れます。

このテーマを含むコース全体（料金・受講の流れ・講師のご紹介）は、ロマンのための数学 個別指導のページでご案内しています。

※内容はお客様のご要望等によって変更することがあります。

・「楕円曲線暗号」という言葉を聞いて中身を知りたい方
・グラフ上の点の"足し算"に興味をひかれた方
・数論やフェルマーの最終定理のロマンに触れたい方
・幾何と数論のつながりを味わいたい方
・知的好奇心から現代数学を楽しみたい社会人の方

・3次曲線の書き方、3次曲線に群構造を入れる、3次曲線が群になる条件
・射影幾何、Weierstrassの標準形、非特異になる条件
・加法公式、２倍公式
・位数２、3の点、実数体上の楕円曲線、複素数体上の楕円曲線
・Weierstrassのp 関数
・3次式の判別式、Nugell-Nutsの定理
・Nugell-Lutsの定理の証明
・Nugell-Lutsの定理の応用、Mazurの定理
・Mordellの定理
・Mordelllの定理の証明（アウトライン）