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有理数とは

有理数（ゆうりすう）とは簡単に言うと整数分の整数という分数で表せる数のことです。例えば、\(\frac{1}{2},-\frac{3}{2},\frac{2}{6}\)などです。そして、整数も\(\frac{5}{1}や\frac{0}{1}\)のように捉えれば有理数であるとわかります。
逆に有理数ではないものとしては円周率\(\pi\)や\(\sqrt{2}\)などがあります。

正確な有理数の説明

ここで分数のルールを思い出すと、分母が0になってはいけないので、正確には
\begin{align*}
\frac{整数}{0でない整数}
\end{align*}
と書ける数を有理数と言います。

また、分母と分子がそれ以上約分できない分数を既約分数（きやくぶんすう）と言います。例としては、\(\frac{1}{2},-\frac{3}{5}\)などが既約分数で\(\frac{2}{8},-\frac{4}{6}\)などはそれぞれ約分して\(\frac{1}{4},-\frac{2}{3}\)となるので既約分数ではありません。

有理数と分数の違い

今まで有理数について説明してきましたが、ここで有理数と分数の違いについて触れておきます。
有理数が0でない「整数」分の「整数」の形の数のことだったのに対して、分数は単になんとか分のなんとかになっていれば基本的になんでも分数と呼びます。
例えば、\(\frac{3\pi}{2}や\frac{\sqrt{3}}{2}\)などは分数ですが有理数ではありません。
このように、有理数は分数になりますが分数が必ずしも有理数になるとは限りません。

無理数について

私たちの生活には基本的に実数（じっすう）が使われています。
ものの重さや温度、お金などに使われるのは実数です。このような実数の中で有理数以外の数を無理数と言います。
簡単に言うと、有理数が整数分の整数で表される数だったのに対して、無理数は有理数ではない数なので整数分の整数で「表せない」数のことを言います。
証明は割愛しますが、\(\sqrt{2}や\sqrt{5},\pi\)などは整数分の整数で表せないことがわかるので無理数となります。

有理数のメリット

有理数は無理数に比べて比較的理解しやすく、簡単な比を表すことなどができるので広く使われ、たとえ無理数でもその値を有理数で近似（きんじ）することができます。

有理数の活用例

有理数には不思議な定理や面白い問題が多くあります。
例えば、分子が1であるような単位分数やそれを用いたエジプト分数の問題など、小学生や中学生にもわかるようなものだけに、中学入試や高校入試でも出てくることがあります。
また、有理数をより抽象的な数に対して考えることもできたり、様々な話題があるので、興味のある方は是非調べてみてください。

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小数とは【算数からやさしく解説】

<文/尾崎>

連分数のふしぎ　木村 俊一(著)　講談社