Excelを使った素数アート-ガウス素数前編-

算数・物理・数学トピック

公開日

2020年11月3日

更新日

2020年11月3日

こんにちは。和からの数学講師の岡本です。以前マスログで、Excelを使った“素数アート”として「ウラムの螺旋」というものをご紹介しました。

暇な会議で大発見！？素数が描く不思議な模様

その際にExcelで「素数の判定」という呪文を使いました（Excel 365のみ対応の関数使用）。この素数判定を使って、次のような模様を作成することができます。

これは素数の「２次元版」を描いた模様です。非常に美しいですね！見入ってしまいます！
今回はこの模様についてお話をしていきます。

この記事の主な内容

１．素数とグループ分け

素数とは簡単にいうと、「１と自分自身以外の数で割れない数」のことです。例えば

\begin{align*}2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,\ldots\end{align*}

といった具合です。少し観察すると素数は最初の「２」以外は全て奇数になっていることがわかります（つまり２は“唯一の偶素数”なのです！）。特殊な２以外の素数を４で割ると奇数であることから、必ず「余りが１となるもの」と「余りが３となるもの」の２つのグループに分かれます。

素数が無限に存在することが知られていますが、上の２つのグループ分けを考えたとき、どっちのグループの方が多いでしょうか？もしかすると片方は有限個しかないかもしれません。
　しかし、「ディリクレの算術級数定理」という偉大な定理（今回はこの定理には立ち入りません）を使うとどちらも無限に存在することが示されます。数学の世界は奥が広いですね。。。

２．４で割って１余る素数たちの性質

前節のグループ分けの中で、４で割って「余りが１となるもの」のグループに注目します。このグループには実は次のような驚くべき性質があります。

４で割って１余る素数は、必ず２つの平方数の和で一意的に表すことができる。

「え！！！？ほんとうですか？？？？」と疑ってしまいたくなりますが、本当です。
例えば、「５」という素数は4で割ると確かに１余ります。そして実際に５は

\begin{align*}5=2^2+1^2\end{align*}

となり、確かに２つの平方数の和で書けています。では、4で割って１余る、41という素数はどうでしょう？

\begin{align*}41=25+16=5^2+4^2\end{align*}

となり、確かに２つの平方数の和で書けています。しかも、定理の主張は「表し方はこの１通りしかない（一意的）」ということまで述べています。素数、恐るべし。。。！
ちなみに「４で割って３余る素数は絶対に２つの平方数の和で表すことができない」ということも証明されています。
なお、特殊な素数２に関しては

\begin{align*}2=1^2+1^2\end{align*}

であることから、「４で割って１余る」グループに所属させておきます。

３．複素数の世界の整数

数学の世界では実数の外側にさらに大きな「複素数」といわれる世界が広がっています。私たちが扱っている「整数」はいわば実数の世界の中に閉じ込められた状態であり、複素数の世界にも「整数」なるものが存在します。
複素数は「２乗して\(-1\)になる虚数単位\(i\)」を使って\(a+bi\)という形で表されます（\(a,b\)は実数）。複素数の世界の整数として、\(a+bi\)(\(a,b\)は整数)というものを考えるのが自然です。
また、実数の世界はこれまで「数直線上」という１次元的な表現に限られていましたが、複素数は２つの実数のペアで表されることから２次元的な表現が可能になります。つまり、複素数は「平面上の点」として考えることができます。