マスログ

2020/08/11

チリも積もれば山となる?無限和の不思議

皆さんこんにちは。和からの数学・統計講師の川原です。

本日は私の大好きな数式を紹介したいと思います。

バーゼル問題

皆さまバーゼル問題という言葉を聞いたことがあるでしょうか?これは17世紀後半から18世紀前半にかけて多くの数学者の興味を引いた問題です。その問題とは、

バーゼル問題

平方数の逆数すべての和はいくつになるか

という問題です。つまり数式で書くと、

\begin{align*}\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+… \end{align*}

と平方数(2乗の数)の逆数を無限に足し合わせると、いくらになるかという問題です。足し算していく一つ一つの値はだんだんと小さくなっていっていますが、無限に足していくとチリも積もれば山となる方式で答えはいくらでも大きくなるのではないか、という感覚もするのですが実はこれは正しくありません。足し算していく値がだんだんと小さくなるものでも、無限に足すという操作で値が無限になるものもあれば値が有限の値になるものも存在するのです。不思議な感じがしますがこの辺りを今日は見ていきましょう。

無限に足すといくらでも大きくなるパターン

有名なのは逆数の和です。

\begin{align*}\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…=∞ \end{align*}

となります。これはだんだんと小さくなるものでも無限に足すと無限に発散するというチリも積もれば山となるパターンです。他にも素数の逆数和が無限に発散することが知られています。

\begin{align*}\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+…=∞ \end{align*}

これより、だんだんと小さくなるものでも無限に足すと無限に発散するのか、と思えそうなのですがそうではない例が存在します。

無限に足しても値が有限パターン

無限和が有限の値に収束する例は例えば次のようなものです。

\begin{align*}1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+…\end{align*}

これは1からスタートして、1/2を掛け算していったものを次々に足しています。これもだんだんと小さくなるものを無限に足しているのですが、これは実は有限の値に収束します。

\begin{align*}1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+…=2\end{align*}

これは無限に足していっても有限の値に収束するという例です。このようにだんだんと小さくなる値を無限に足し算すると、無限に発散するものもあったり、有限の値に収束するものも存在します。

無限に足し算した結果・・・

それでは冒頭のバーゼル問題がどのような値になるか。これを解決したのはかの有名な数学者レオンハルトオイラーです。オイラーはこのバーゼル問題に次のような答えを出しました。

\begin{align*}\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+…=\frac{\pi^2}{6} \end{align*}

なんと答えに円周率πが出てくるのです!上の式のどこにも円は見られないのですが、円周率が出てくるとはなんと不思議なことでしょうか。ロマンチックに言えば整数と円は互いに無関係に見えても実は無限の世界で手を結びあっていた、といったところでしょうか。

私は大学生のころにこの数式と出会い感銘を受けました。今でもこの数式は私の名刺に刻まれております。

このように数学の世界には直感を超えた不思議なものがいくつも存在します。数学の面白いところはこの不思議な数式が成り立つ理由を証明することができるところにあります。上記の数式が不思議だと感じた方は、その不思議という感覚を大切にしてみてください。その不思議という気持ちを原動力にして、なぜ上記の式が成り立つのかという美しい数学の世界を勉強してみませんか?

最後に

いかがでしたでしょうか?今回は不思議な数式をご紹介してみました。数学に興味があって少しその不思議な世界をのぞいてみたいという方には次の本がおすすめです。

数学ガールは、高校生の「僕」と数学ガールたちが数学を楽しんでいく物語です。対話形式で物語は進み、登場人物が躓きながら一歩一歩数学を進めていくので数学初心者の方もとても読みやすいものとなっております。

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