一度見たら忘れられない入試問題～2000年静岡大学前期日程～

算数・物理・数学トピック

公開日

2022年5月12日

更新日

2022年5月12日

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みなさんこんにちは。和からの数学講師の伊藤です。こちらの記事、なんと私の初めてのマスログになります。さて、今回は2000年に静岡大学で出題された、とっても遊び心のある問題をご紹介します。数学に自信のある方はぜひ一度、実際に手を動かして、ご自身の目でこの感動を味わってみていただければと思います。では、さっそく問題を見ていきましょう。

この記事の主な内容

１．2000年静岡大学前期日程

関数\(f(x)\),\(g(x)\)を

\begin{align*}
f(x) &= \left\{
\begin{array}{ll}
x^4-x^2+6 & (|x| \leq 1)\\
\frac{12}{|x|+1} & (|x| > 1)
\end{array}
\right.\\
g(x)&=\frac{1}{2}\cos (2\pi x)+\frac{7}{2} \hspace{1.0em}(|x|\leq 2)
\end{align*}

で定義する。このとき、次の問いに答えよ。

(1) \(f(x)\),\(g(x)\)の増減を調べ、2曲線\(C_1:y=f(x)\),\(C_2:y=g(x)\)のグラフの概形を同じ座標平面上にかけ。
(2) \(C_1\),\(C_2\)で囲まれた部分の面積を求めよ。
※2つの問題に分かれていますが、今回は(1)のみ扱います。

これを受験会場で見た受験生は、勘弁してくれ…と思ったかもしれません。3つのグラフを書くという骨の折れる問題ですが、これを解いたときのご褒美はなかなかのものです。今回はどういった道具を使って解くのかをご紹介して、実際の解答をお見せしていきます。

２．使う道具の紹介

それではこの問題を解くにあたって、必要な道具をご紹介します。

・微分
グラフの各点において接線の傾きを調べるのに使うものですが、これを応用するとグラフがどのくらいの勢いで増加、もしくは減少するかも調べることができます。
・分数関数
反比例のグラフを拡大縮小・平行移動した形になります。
・三角関数
グラフを書いてみると、周期的な波の形になります。波と言えば三角関数ともいえるほど、重要な関数になります。

これらの知識をフルに活用して、この問題を解いていきましょう。

３．答えは…

それでは、実際にこの関数のグラフを座標平面上に描いてみます。

なんと！富士山の形が出てくるんです！先ほどお話しした通り、この問題が出題されたのは2000年の静岡大学。富士山で有名な静岡県ならではの問題だったのですね。
なお、今回はpythonを使って描きました。コードは次の通りです。

　　
　import numpy as np
　import matplotlib.pyplot as plt

　x_f1=np.linspace(-1,1)
　x_f2left=np.linspace(-5,-1)
　x_f2right=np.linspace(1,5)
　x_g=np.linspace(-2,2)

　y_f1=x_f1**4-x_f1**2+6
　y_f2left=12/(-x_f2left+1)
　y_f2right=12/(x_f2right+1)
　y_g=(1/2)*np.cos(2*np.pi*x_g)+7/2

　plt.plot(x_f1,y_f1,color="r")
　plt.plot(x_f2left,y_f2left,color="b")
　plt.plot(x_f2right,y_f2right,color="b")
　plt.plot(x_g,y_g,color="y")

　plt.show()

４．まとめ

いかがでしたでしょうか。今回は入試問題の紹介ということで、グラフを描いたら富士山が出てくるというユニークな問題を扱いました。微分、分数関数、三角関数といろいろな知識を総動員する必要もあり、なかなか難しい問題だったかと思います。ところで…、実は私の出身は山梨県なのですが、この問題、正直うらやましいなと思ってしまいます…(笑)　山梨大学でも出題してくれればいいのに。
いや、ちょっと待ってください。どうせ静岡大学で出題するなら、静岡から見た富士山を描かせてほしくないですか？静岡から見た富士山って、こうなっているはずなんです。