※本記事はロマ数トレラン「ファイナンスのための確率微分方程式」の講師である坂本昌夫先生によるセミナーの紹介記事になります。ご興味を持った方は是非ゼミにご参加ください。ガイダンス回は無料となっております。

一風変わった積分

2021年1月12日よりロマ数トレラン「ファイナンスのための確率微分方程式」を開講します。本セミナーでは講師側からの一方通行の講義ではなく、いろいろな質問を持ち寄り、日頃から疑問に思っていることを、参加者での間で議論することも行いたいと思っています。また、業務において、当セミナーに関する事柄で、困っていることについても相談に乗れればと思います。

ところで、セミナー開始にあたり、確率積分の特徴について少し述べたいと思います。いわゆる高校数学で学んだ積分（リーマン積分）で、

$$\int_0^Txdx=\frac{1}{2}T^2$$

となりますが、確率積分（定義がいくつかありますが、ここでは伊藤積分）では、

$$\int_0^TW(t)dW(t)=\frac{1}{2}W(T)^2-\frac{1}{2}T$$

となります。右辺の第2項がリーマン積分と違うところです。この違うところが、いい味を出しています。式を変形してみると、

$$W(T)^2=2\int_0^TW(t)dW(t)+T$$

となります。
ここで、左辺の期待値を計算してみます。その前に前提条件を確認します。

$W(t)$は、ブラウン運動であり、${\rm N}(0,t)$に従います。（正確な定義はセミナーの中で）

従って、$W(t)$の期待値は$0$、分散は$t$になります。（ブラウン運動の特徴は、分散が時間$t$である。）以上から、

$$\begin{align*} E[W(T)^2]&=E\left[2\int_0^TW(t)dW(t) + T \right]\\ &=2\int_0^TE[W(t)]dW(t)+T\\ &=T \end{align*}$$

となります。$W(T)$は${\rm N}(0,T)$に従い、平均が$0$であることから$E[W(T)^2]$は分散を表します。たしかに上の積分の結果は${\rm N}(0,T)$の分散$T$となり、ぴったりと合います。余分と思われた$\frac{1}{2}T$が、活きてきます。

さらに、$W(t)$の$n$乗の積分($n\geq1$)は、

$$\int_0^TW(t)^ndW(t)=\frac{1}{n+1}W(T)^{n+1}-\frac{n}{2}\int_0^TW(t)^{n-1}dt$$
となります。（伊藤の公式のおかげです。）

以上のように少し変わった積分を当セミナーで学びます。

<文/坂本昌夫>