大人の教養数学｜リーマン予想とゼータ関数を「なぜ」から学び直す

リーマン予想は、つかみどころのない「素数の並び方」を、ゼータ関数という一本の関数の零点の位置に言い換えた予想です。

たとえば 1 ＋ 1/4 ＋ 1/9 ＋ 1/16 ＋ … という、分母が平方数の無限和。どこにも円は出てこないのに、答えは π²/6 になります（バーゼル問題）。この和の「2乗」を「s乗」に一般化したものがゼータ関数 ζ(s) で、s を複素数まで広げる解析接続という操作を行うと、1＋2＋3＋… が −1/12 に対応するといった不思議な等式まで現れます。そして「ζ(s)＝0 となる非自明な点は、すべて実部が 1/2 の直線上に並ぶ」――これがリーマン予想です。

本講座では、この予想を「なぜ数学者が重要視するのか」という視点から解きほぐしていきます。学ぶ内容は、次のような場面につながります。

• 素数の分布
  素数定理と、零点が「素数の個数の誤差」を左右するしくみ
• 解析接続
  定義域の外へ関数を延ばすとは、どういうことか
• 現代数学の地図
  オイラー積から広がる、整数論と解析学が交わる場所

零点の分布は暗号理論やランダム行列理論とも接点を持ち、整数論と解析学が一つにつながる瞬間を、大学数学の入口から見晴らせるようになります。

なお、受講に専門知識は必要ありません。高校数学の指数・対数と、複素数の四則計算がわかれば、そこから順に積み上げていけます。

よくある質問

Q．数学から離れて久しいのですが、ついていけますか？
A．ついていけます。高校数学の指数・対数から必要な道具をその都度おさらいしながら進めますので、ブランクがあっても支障ありません。

Q．リーマン予想を証明できるようになりますか？
A．証明そのものは未解決の難問です。本講座は「何が問われているのか」「なぜ難しいのか」を正確に理解し、専門書や解説記事を自力で読める状態を目指します。

Q．計算を自分で確かめてみたいのですが？
A．できます。ご希望に応じて、バーゼル問題の数値実験やゼータ関数の値の確認など、手を動かして納得する回を組み込みます。

Q．素数と暗号の関係も扱いますか？
A．扱います。素数定理と零点の関係から、素数が暗号技術で使われる場面まで、ご興味に合わせて広げられます。

このテーマを含むコース全体（料金・受講の流れ・講師のご紹介）は、ロマンのための数学 個別指導のページでご案内しています。

※内容はお客様のご要望等によって変更することがあります。

・「リーマン予想」の名前は知っているが、中身を説明できない方
・素数の不思議さに惹かれ、その研究の最前線を知りたい方
・大学で微積分や複素数を学んだが、現代数学とのつながりが見えない方
・数学の教養として、ミレニアム懸賞問題の中身に触れたい方
・独学で専門書に挑んだが、途中で行き詰まってしまった方

以下のトピックをお客様のレベルに合わせて解説していきます。
・複素数
・数列、シグマ
・微分
　-多項式の微分
　-三角関数の微分
　-指数、対数関数の微分
・積分
　-部分積分
　-置換積分
・テイラー展開
・複素関数
　-三角関数
　-指数関数
　-ガンマ関数
・解析接続
・関数等式