みなさんこんにちは。和からの数学講師の伊藤です。以前のマスログでは、確率に関する話題に触れてきました。

条件付き確率とベイズの定理【統計学をやさしく解説】

今回は、そんな確率に関する少し不思議なお話です。しかし、考え方を知らないと確率に騙されてしまう恐れがあるほど、重要な内容になります。例題を通してお話しますので、ぜひ最後までご覧ください！

１. 1万人に1人の難病で陽性反応！？

今回のお話を考えるにあたって、次のような問題を考えてみましょう。

条件として、今回は以下を仮定して考えています。（細かい話なので、一旦無視して読み進めていただいても問題ありません！）
・検査を受けたかどうかと病気に罹患しているかどうかは独立とする。
・精度が99.9%とは、実際に罹患している人を陽性と診断する確率、罹患していない人を陰性と診断する確率のいずれも99.9%であることをいう。

一見、わざわざ考えるまでもなく、99.9%なのでは…？と思ってしまうかもしれません。しかし確率の観点から見ると、この結果だけで罹患していると思い込んでしまうのは危険な考え方になります。今回は、このからくりを紐解いていきましょう。

２. 確率を正確にとらえる

今回カギになるのは、この検査の精度と病気の罹患率です。

まず考えたいのは、この検査において陽性反応が出た人数です。正確な人数というよりは期待値を計算することになりますが、人数を求めてみましょう。

今回は1万人に1人が罹患すると言われる病気ですので、仮に1,000万人が検査を受けたとしたとき実際に罹患している人数は、10,000,000を10,000で割ることで、1,000人と計算できます。逆に病気に罹患していない人の数は9,999,000人です。検査を受けたほとんどの人は、この病気にはかかっていないことが分かります。

このとき、実際には病気にかかっていない9,999,000人のうち、0.1%の人には誤った判断が下されます。つまり罹患していない人のうち9,999人は陽性反応となり、残りの9,989,001人には陰性反応が出ます。また、病気に罹患している人の数は1,000人ですので、このうち99.9%にあたる999人には正しい陽性反応が出され、1人にだけ誤って陰性反応が出ます。

さて、この結果からどんなことが読み取れるでしょうか…？

３. 実際に罹患している確率は…？

先ほどの内容を踏まえると、太郎さんが病気に罹患している確率を計算することができます。太郎さんは陽性反応が出ていましたが、この検査で陽性と診断される人は10,998人います。しかし、このうち実際に罹患している人は999人しかいません。999÷10,998=0.0908…ですので、割合にすると約9.1%しかいないことになります。

つまり、検査結果が陽性だったとしても、自分が実際に病気に罹患している確率は非常に低いことが分かるのです。これは、病気に罹患する割合が10,000人に1人（0.01%）と低いことから起こる現象です。

現在も新型コロナウイルス感染症への罹患状況を検査するPCR検査が盛んに行われていますが、こういった検査に関する情報を得た際には、検査の精度だけではなく、同時に罹患率を考える癖をつけておくことも非常に重要です。情報リテラシーの一つとして、今回の内容もぜひ覚えておいてください！

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<文/伊藤智也>

生と死を分ける数学: 人生の(ほぼ)すべてに数学が関係するわけ　キット イェーツ(著)　草思社