※本記事はロマ数トレラン「微分トポロジー入門－高次元の世界を感じる－」の講師である佐々木和美先生による微分トポロジーの入門の記事になります。ご興味を持った方は是非ゼミにご参加ください。ガイダンス回は無料となっております。

微分トポロジー

　数学の分野には大きく分けて、解析（微積分や関数）、幾何（図形や空間）、代数（方程式や群）とありますが、トポロジーは「位相幾何」とも言い、幾何学の仲間で「空間全体の大域的な様子」を研究します。そのための道具としては、解析、代数、幾何など何でも使います。

トポロジーで研究の対象としている空間を「位相空間」と言い、中でも、どこもかしこも局所的にはユークリッド空間（平面や\(3\)次元空間など）と同じ、つまり「普通」に見える位相空間を「多様体」と言います。「多様体」のうち、「つながり方」だけに注目する「位相多様体」に対して「無限回微分可能な程度の滑らかさ」を要求するのが「滑らかな多様体（可微分多様体とも）」です。よって、滑らかな多様体には尖った角などは一切なく、どこでも通常の座標空間と同様に微分や積分の計算ができます。至る所ギザギザかもしれないような位相多様体に比べ、より現実味があり物理学や工学等での応用上もよく出現します。

「微分トポロジー」とは、このような「滑らかな多様体」を調べる数学の分野です。

球面の裏返し

微分トポロジーでは、２つの滑らかな多様体の間に「微分同相写像（滑らかさを壊さないようにそっと移す写像）」があるとき、「つながり方も滑らかさも同じ」という意味で同型とみなします。ですから、微分トポロジーでの「変形」は、単につながりを保っていればよいだけではなく、「途中で折り曲げたりせず、滑らかさを保って」行う必要があります。

このことの意味は、平面内の円周を、平面から持ち上げずに、逆向きにするには、少なくとも１か所を必ず折り曲げなければならない、ということを考えてみるとわかるかもしれません。（向きの異なる２つの円周は\(2\)次元空間内の滑らかなはめ込みの変形でつながらない、ということ）。

一方、球面は\(3\)次元空間内で一切折り曲げずに裏返すことができます！

エキゾチック球面

\(3\)次元以下では、各位相多様体（の同型類）の「滑らかさ加減」というのはそれぞれ1つずつしかないのですが、\(4\)次元以上ではそうとも限りません。例えば\(7\)次元には、\(7\)次元球面\(S^7\)に位相同型だけれども微分同相ではない多様体が28種類も（！）あることが、1956年以降ミルナーらによって発見されました。これらの通常と異なる滑らかさを持つ高次元球面は「エキゾチック球面」と呼ばれています。ちなみに、各次元の球面の可微分構造は、以下の表のようになっています。（「球面」と言っていますが、実際には各次元の広さ（自由度）を持つ、境界のない閉じた空間のことを指しています）
https://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_sphere　

\(4\)次元は特別？

また、\(4\)次元座標空間(\(R^4\))には通常と異なる滑らかさの構造が連続的にたくさんある（エキゾチック\(R^4\)）ことがフリードマン、タウベスらにより証明されています。これは\(n=4\)だけの特性で、\(n\neq 4\)では\(R^n\)の滑らかさは通常の1通りしかありません。（\(R^n\)とは、\(n\)次元の自由度を持つ、閉じておらず境界もない空間をイメージしてください）
「参考)エキゾチック\(R^4\)(wikipedia)」

このように\(4\)次元空間は何か特別、謎めいています。これは私たちの住む時空が、空間\(3\)次元、時間\(1\)次元の\(4\)次元であることと関係があるのでしょうか。でも超弦理論によれば、本当の世界は\(10\)次元や\(11\)次元なんだとか。隠れた\(7\)次元はエキゾチックなのかも、などと想像は膨らみます。ちなみにトポロジーでは高次元とは\(5\)次元以上を指し、\(4\)次元の世界は「低次元」のうちに入ります。

3つのカテゴリー

トポロジーには、TOP（位相多様体）、PL（組み合わせ多様体）、DIFF（可微分多様体）の3つのカテゴリーがあり、それぞれのカテゴリーごとに多様体を分類することを目標のひとつとしています。さらにそれらの下に「ホモトピー論」というカテゴリーがあります。その観点で「一般化」ポアンカレ予想を言い換えると、「ホモトピー型が\(n\)次元球面と同相（PL同相、微分同相）な\(n\)次元閉多様体は、\(n\)次元球面に同相（PL同相、微分同相）か？」となります。ポアンカレ予想はペレリマンによって最終的にすべて解決された、と言われていますが、実はこれはTOP(位相)カテゴリーの話で、2021年現在でも唯一、\(4\)次元のDIFF(微分)カテゴリーのみが未解決で残っています。つまり、滑らかで単連結な\(4\)次元閉多様体があったとき、それは必ず通常の\(4\)次元球面\(S^4\)に同相(位相同型)になることは分かっているが、微分同相か（滑らかさを保つ写像か）どうかはわからない、ということなのです。
「参考)Generalized Poincaré conjecture(wikipedia)」　

使用テキストについて

微分トポロジーの業績により1962年にフィールズ賞を受賞したミルナーがヴァージニア大学で学生向けに行なった講義をもとに著したのが1965年初版の名著「Topology from the Differentiable Viewpoint」（邦訳書は「微分トポロジー講義」（丸善出版）

わずか65頁に当時の最先端がぎゅっと詰まっている名著で、原文はシカゴ大学のウェブサイトにも掲載されています。
https://math.uchicago.edu/~may/REU2017/MilnorDiff.pdf

この本に触発されて書かれた教科書が、V.Guillemanと A.Pollackの「Differential Topology」です。ストークスの定理やガウスボンネの定理を含む第4章を追加し、演習問題を加えてより分かりやすいものになっています。ロマ数トレラン「微分トポロジー入門－高次元の世界を感じる－」では、その邦訳書「微分位相幾何学」（現代数学社）を教科書として使用し、微分トポロジーの基礎を学びます。

本テキストでは、滑らかな多様体を、交差理論とホモトピー（つまり摂動）を用いて調べます。交差理論では、例えば、\(3\)次元空間内の平面と直線は一般に「横断的に」交わる、などと考えます。ちなみに、空間内の2直線の交わりは横断的ではありません。「横断的」とは、少し動かしても変わらない安定した性質なのです。この交差理論を用いて、なんと、通常は基本群や(コ)ホモロジー論などの代数的トポロジーをしっかり学んでからでないと教わらないような、様々な大定理を証明できてしまいます。

＜使用テキストで証明している定理＞
Sardの定理、Whitneyの埋め込み定理、代数学の基本定理、Jordan-Brouwerの分離定理、Borsuk-Ulamの定理、Lefschetzの不動点定理、Poincare-Hopfの定理、Hopf の写像度定理、Euler標数と三角形分割の関係、Stokesの定理、Gauss-Bonnetの定理、1次元多様体の分類定理

各定理の内容についてはwikipedia等で調べてみてください。

参考動画

数学を創る－数学者達の挑戦（東京大学学術俯瞰講義）2009年度
https://ocw.u-tokyo.ac.jp/course_11323/　
↑　第10回～第12回で幾何学やトポロジーを解説しています。

①次元（数学の散歩道）第１章～第９章
http://www.dimensions-math.org/Dim_JP.htm　

②カオス（数学的冒険）第１章～第９章
https://www.chaos-math.org/ja.html　

①②とも、日本語版吹き替えと字幕があります。

<文/佐々木和美>