「席替えに潜む数学」(和から講師:岡本(ζWalker)) ロマンティック数学ナイト@オンライン20200530
公開日
2024年11月9日
更新日
2024年11月17日
2020年5月30日(土)開催・ロマンティック数学ナイト@オンラインにて、和から講師の岡本(ζWalker)のプレゼンです。
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さあそれでは続いてのロマンティストご紹介しましょう
続いてのロマンティストこの場です
さあ来ました自らが登壇すると予言をした
ゼーターウォーカーさんです
よろしくお願いです
最近は割れないコップあれっ素晴らしかったですね
そうですね結婚式にも使えるとかっていうので
なんかいろいろ贈り物にも
購入される方が多くて
あのガラスのコップにね素数を
これですね
これでいつも飲んでるんですよ
今んとこ発見される最大の素数でしたかね確かね
その素数は作ってないですね
素数がひたすら乗っていると言うね
素数だから割れないコップだよということで
さあそんなゼーターウォーカーさんの準備の方お願い致します
さあそれではご紹介しましょう
席替えに潜む数学ゼーターウォーカーさんです
お願いします
ご紹介ありがとうございます
本日は席替えに潜む数学というタイトルでお話をさせていただきます
まず自己紹介させていただきます
和からの数学講師をやっていて
生粋のアーティストっていうのをやってます
詳しくは twitter のほうを見て頂ければと思います
あとはの数学のグッズ、先ほどの高田先生にもご紹介いただきました
割れない素数グラスとか
こういうのつづりで素数グッズの販売しますので
よろしかったら是非検索してみてください
今日の話っていうのは席替えについてお話をしていきたいと思います
席替えっていうとみなさんどんな印象がありますかね
青春の甘酸っぱい思い出とかドキドキざわざわといったことがあるかと思うんですが
今日はこれを数学的に見ていこうという話です
じゃあ数学的に見ていく上でまず一番大事なのは何かというと
やっぱり定義なわけですね
席替えの定期って言うのちゃんと調べてみると
定常的に 座席配置と構成人員が決定されている集団において
その座席の順番を変更すること
これを席替えと言うんですよ
もうちょっと単純化してみると
例えばこういうふうに4つ席があった時にこの番号を入れ替える
こう言ったのが席替えになるわけですね
例えば席替えの例としてこういうふうにシフトさせる
するとこうなります
あるいは、1を動かさないような席替えもありますし
2と3だけひっくり返すような席替えもあると
ほかにもこんなこと形だったり
こんなのもあるわけですね
ここで問題になるのがこの4つの席替えの場合
席替えは全部で何通りあるでしょうか？
これは有名な問題ですかね
これ実はこんだけあるんですよ
4通りじゃなくてこれはちょっと注意が必要です
階乗の記号なのでこれ4の階乗通り
ちょっとわかりにくいんですけど
こちらは感嘆符なので4の階乗というのは
4×3×2×1ということで24通りあるわけです
じゃあこんな問題考えてみましょう
全員の席が前の位置と変わるような席替えは何通りありますか？
例えばこれ4席の場合何通りあるかという時は
結構難しくてこれ実は9通りなんですね
ちょっと一般にn席あったときの話をしましょう
例えば n 席あった時の席の入れ替え
全部で何通りあるかというと
ご察しの通り n の階乗通りあります
じゃあn個の席が全部変わるような入れ替えって言うのは
何通りあるかこれ考えてみると
やっぱり難しいんですよ
こういうのモンモール数と言われていて
式で書くとこういうふうになります
意外と難しいんですね
数学の世界っていうのはこういうのは席替えを考える時って
点の入れ替えとかっていう
ふうに抽象化をして考えて
さらに大学に入ってくると入れ替えという操作を一つの集合として考えて
今日はの何度か出てきました群という数学的対処
竹の子くんの話でも出てきまして n次対称群
こういったものを考えるということになります
こういう集合の中には演算と言われるものが入って
数学的に対象になると言われています
こうして見るとちょっと数学的に席変え考えるだけで
いろんなをトピックが出てきて席替えってすげーとなるわけですよ
しかし今日の話っていうのはまだまだこれから
ここからが本題ですメイントピックになります
今まで席替えっていうのを考えた時に初期状態と結果のみに注目していました
どういうことかというと
例えば4つ席があった時に4人こう言うふうに座っています
この4人が席替えをしましたというふうに結果を考えてました
これ結論からすると3人がシフトしただけなんですよ
しかし今回はその時間変化に注目してみるということを考えます
このように初期状態が t＝0で1秒後に席替えが完了してるとしましょう
それを0.2秒おきに移動させるんですね
そうすると席替え完了してます
しかしこれ3人の動きっていうのは一通りじゃないです
いろんな動きがあります
例えば3人の動きもう一回元に戻して
こうこうこうこうこう
これよくあるやつですねちょっと右左いっちゃって
ごめんとなるわけです
で女の子が上を通って席変えが完了と
これはあの席替えの結果同じなんですがプロセスが違います
この違いっていうのを数学的にどう捉えるかというのを考えていきます
その一つの方法として時間が経過体の立体視します
例えば最初の席変え入れ替えっていうのを4人がこういうふうに配置していました
この4人の席っていうのをだったんだとさっきキャプチャーとっていくわけですね
で4人の軌道というのを線で描きます
これが最初の席変え
じゃあ2回目の席変えってなんだというと
4人がこういうふうに0.1秒おきに
取っていってその席変えの軌道を見ていくとこうなります
こういうふうに軌道で考えます
ちょっと単純に二つを比べてみると簡単にしました
最初の席変えというのは2個目の席変えというのは
違いはどこかというと緑の線、紐ですね
これが後ろに来てるか前に来ているかこういう違い
こういう形で数学的に違いを考えることができると
ちょっとまとめてみるとこういう時間変化考えること軌道を考えることによって
組み紐群ってのがあり
これまた群といわれる研究対象になるんですけど
数学的な対象になります
こういった群もう少し一般的に考えてみると
平面上に n 点配置空間と言われるものを考えます
デルタっていう集合引いてあげて
対称群割った小空間という考えます
この縮小空間の基本群と呼ばれるもが
今回の組紐であらわされる文になると
こんな難しいものどんなときに使われるかと思われがちなんですけど
実はこれいろんなとこで使われていて
例えばロボット工学とかで応用されています
例えば倉庫のロボット自動化っていうのを考えた時にロボットたちが動くわけですよね
色んなロボットたちがぶつからないように配置を考えるには
こういった配置空間であったり
この組み紐群と呼ばれるものが使われたり
色んなとこで出現すると言われるものです
今回さらにもう少し面白いものを考えてみようということで1つ軌道があります
軌道っていうのがこの紐になっているわけですが
この軌道っていうのを周期的なもの
同じ動きをどんどん繰り返すっていうことを考えます
これってビジュアルで考えると上と下の紐を結ぶことなんですね
こうすることによって
周期的な動きと捉えることができます
こうすることによって閉じた輪っかができますね
1本の輪っかの場合を結び目っと言われて
複数の輪っかのことを絡み目と
基本的にいいます
ちょっとまとめてみると
何かこう配置の変化があったときにその時間変化込みで考えると気道が組紐になると
そしてそれを周期的な動きとして捉えると
なんと結び目・絡み目と言われる分野になります
例えばこの2人の動き配置がこういうふうに変化しました
これ2人の軌道って言うのを描いてみるとこうなります
これを周期的な変動だと考えてみると
こういうふうに上と下をつなげられる
でもこの紐っていうのは簡単にほどけちゃってただの輪っかになります
こう言うのTrivial knotと言われていて
2人の動きはTrivialだったとかっていうふうに言います
まあ普通は言いませんけど
もう一つこういった2人の動き
こう入れ替えしようとしてるんですけど
ここでちょっと迷いを生じてやっぱり元の席に戻ろうかなと思いつつもやはり
席替えをすると
これも結論は同じなんですが動きが違うと
どういう風な軌道だったが見てみると
このようににツイストとします
上と下と曲げるとこのような輪っかになって
これ1本の輪っかなので結び目なんですが
これ整理してあげると
このような綺麗な結び目になります
こういうのはTrefoil knotといわれる結び目で
由緒正しい結び目です
二人の動きっていうのはTrefoil knot的な動きだったなというふうに
結論付けられますと
というふうに僕がかってに言ってます
さてここまでがちょっと準備だったんですよ
ここからが本当にお話ししたい内容で
今日その perfume って皆さんご存知でしょうか
あの広島出身のダンスユニットです
この perfume さんの名曲レーザービーム
あのまあ3人が踊るわけですね
ダンスして配置が入れ替わります
このあーちゃん、のっち、かしゆかの3人の配置空間を考えよう
というのが今日最後のトピックです
これ実はダンスが始まる前
あーちゃん、のっち、かしゆか3人の最初の配置はこうでした
そしてダンス終了後3人の配置がこうなっています
これも初期状態と結論だけ見るとあーちゃんとのっちが入れ替わってるだけなんですね
しかしこの間には時間変化考えると非常に多くのドラマがありました
例えば最初の状態からご覧のダンスをずっと見ていると
僕4分くらいの動画ずっと見ていたわけですよ
そうすると最初にここ3人がシフトしますクルッと変わるわけですね
そしてまた終盤付近でもう1回シフトします
でこのままでずっと最後まで行きそうになるんですよ
でこの結び目理論とか組み紐とか
普段見ている方からするとこれすぐにわかることなんですけど
もしこのまま終わってしまってはあんまり面白い結果になるところ僕を気付いていて
やばいこのままではTrivialの動きになってしまうというふうに
非常に焦っていました
そうしているとなんと
終了間際にここ奇跡の入れ替わりというのが起こるんですね
最後あーちゃんとかしゆかが謎の入れ替わりをすると
そして最終的にこのような配置になりました
この3人の軌道っていうのを描いてみると
このようになります
この3人の軌道をちょっと周期的な動きだとして上と下結んであげました
そうするとなんとこんな綺麗な絡み目ができちゃうんですね
しかもこれって名前がついていて
Whitehead linkと言われていますなんとあの
これちょっとマニアックですが
こういう双曲絡み目と言われるもので
双曲曲構造っていうのを小空間に保つことができると
これボク非常にテンション上がってもう非常に感動しました
ということでちょっと今日のまとめです
もうまとめはレーザービームにはWhitehead linkが隠されていたと
非常に感銘を受けました
さらに最後のあーちゃんとかしゆかの入れ替わりっていうドラマチックな
それこそまあロマンチックですよね
こういった入れ替わりがあったから
これは入れ替わりがなかったら双曲構造手に入らなかったと
ちょっとマニアックですけど
そういったこともあって最後非常に感動しました
2人に感謝を述べたいと思います
いうことで僕からの発表は以上とさせていただきます
非常にあのどうでもいいお話でしたが
ご静聴ありがとうございました
ありがとうございました
面白いなぁ
笑っちゃったぜ
席替えの定義から始まりね
いや、おもしれなぁ
しかもねあのさっきはeのね
i 杯以上のeの話から始まって
モンモール数っていうのはね
そうなんですよね出てきて
歓談タイムでその話しようかなって思ってます
持ってるなぁ
ということでこの後、
歓談タイムではどういったお話が
モンモールスの話とか
あとそうですねちょっと今後の誰かやってほしいんですけど
今回僕は perfume さんしか見てなかったんですけど
例えばそれがAKB だったらどうかだとか
AKB人数多しぎません？
J-soulブラザーズとかだったらどうだとか
とんでもない結び目になりそうなんで
がらめになると思うんだけど
それですね
はい！
いやーもうツイートも面白かったと弾幕流れております
すばらしいプレゼンありがとうございました
ゼーターウォーカーさんでした
ありがとうございました
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