大人の数学やり直し｜集合論を「無限の大きさ」から考える

集合論は、数学全体の土台にある「ものの集まり」と「無限」を扱う分野です。おどろくのは、無限にも“大きさ（濃度）”の違いがあること。整数と偶数は1対1に並べられるので、じつは同じ大きさ。ところが実数は、カントールの対角線論法によって、どう並べても数え切れない――整数より“大きい”無限だと分かります。

「無限」を素朴なイメージのままにせず、きちんと比べられるようにする。それが集合論のスリリングなところです。学んだ考え方は、次のような場面で活きてきます。

• 教養・知的好奇心
  「無限」を厳密に考える、数学ならではの面白さ
• 情報・論理
  計算理論・情報科学の基礎（可算・非可算）
• 次の数学へ
  位相・測度など、現代数学への入り口

集合と濃度の考え方は、解析学・位相空間論・論理学に共通する土台になります。

なお、特別な予備知識は必要ありません。高校数学の集合の話から、無限の世界へていねいに広げていきます。

よくある質問

Q．無限に大小があるというのは本当ですか？
A．はい。数え上げられる無限（可算）と、数え切れない無限（非可算）があります。証明とともにていねいに扱います。

Q．対角線論法とは何ですか？
A．どんなリストを作っても「どの行とも違う数」を作れてしまう、という論法です。図で直感的に理解できます。

Q．何の役に立ちますか？
A．計算できる／できないの境界（計算理論）や、現代数学の基礎づけにつながる考え方です。

Q．数学が得意でなくても大丈夫ですか？
A．はい。哲学的で面白い題材です。記号より“考え方”を楽しむところから始めます。

大学数学をどう学び進めるかは、料金や受講の流れとあわせて大学数学・大学院対策 個別指導のページでご案内しています。

※内容はお客様のご要望等によって変更することがあります。

・「無限」を数学的にきちんと考えてみたい方
・可算・非可算、濃度の違いを理解したい方
・情報科学・論理学の基礎に関心がある方
・現代数学（位相・測度）への入り口を探している方
・知的好奇心から数学を深めたい社会人の方

1)集合の基本概念、演算
2)写像
3)同値関係
4)集合の濃度
5)濃度の演算
6)順序集合
7)整列集合、比較定理
8)ツォルンの補題
9)順序数