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マスログ

2022/07/26

素因数分解の極意


みなさんこんにちは。和からの数学講師の伊藤です。大きめの数字を見るとついつい素因数分解してしまうのは私だけでしょうか?日ごろから「この数字はどんな数で割れるのかな?」とついつい考えてしまうのですが、それだけではなくて、私は素因数分解すると、その数字をより覚えやすかったりもするのです。人の誕生日なんかも、「この人はたしかこんな風に分解できたな」と考えるとちょっと覚えやすいです。

今回は、この素因数分解をなるべく効率的に行うためのコツをいくつかご紹介していきます。どれも実際に私が使っている方法なので、日常で使う場面があるかどうかはともかく、楽しんで読んでいただけたらと思います!

1.素因数分解って?

素因数分解とは、\(120=2^3 \times 3 \times 5\)のように、整数(自然数)を素数の積で表したものです。今回の120に対する2,3,5といった素数たちのことを、120の素因数と呼びます。
※素数:1と自分以外に約数を持たない2以上の整数

お釣りを素因数分解するというのはつまり、598円のお釣りに対して、「598を2で割ると299…。これは3でも割れない…5でも7でも割れない…。あ、13で割れる!\(299 \div 13 = 23\)だから、素因数分解すると\(2 \times 13 \times 23\)だな」といった具合に、お釣りの金額を素数の積に表すということです。

今回の13や23といった素数を発見するのは少し難しいですが、簡単に見つけることができる素因数というのがあるので、こちらをご紹介していきます。

2.素因数の見つけ方

まず数字を見ただけで見つけられる素因数は、2と5です。数字が偶数であれば、必ず2を素因数に持ちます。また末尾が5であれば、それは5を素因数に持ちます。末尾が0であれば、2と5の両方を素因数に持つことになります。同じように末尾が00の場合は、2と5をそれぞれ2つずつ素因数に持つことが分かります。末尾に0がn個ある場合は、\(2^n \times 5^n \times 〇\)という形になるのです。この〇の部分は、末尾の0を除いた残りの部分を素因数分解した結果が入ることになるので、桁が小さくなって計算が楽になります。

次に見つけやすいのは、3の倍数でしょうか。3の倍数の判定法として、「すべての位の数字を足したものが3の倍数」というものがあります。これはどういうことかというと、たとえば123という数字は、各位を足すと、\(1+2+3=6\)となり、6は3の倍数です。つまり、123も3の倍数ということが分かるのです。ちなみに、もしもすべての位を足したものが9の倍数であれば、その数字は9の倍数になります。この場合は、\(9=3 \times 3\)なので、素因数には3を2つ含むことになりますね。

最後に、11の倍数の判定法もご紹介しておきます。数字がある特徴を持っているときは、11の倍数だと判定できたりします。それが次のような特徴です。
・同じ数字が偶数個ずつ並んでいる
(88、2288、11661111など)
・奇数個の数字の繰り返しになっている
(123123、7182871828など)
・偶数桁の数字が、上から読んでも下から読んでも同じ数字になっている
(3773、97344379など)

これらはどれも、「各位の数字の足し引きを繰り返したものが11の倍数なら、元の数も11の倍数」という法則に基づいています。つまり、たとえば123123という数字は、\(1-2+3-1+2-3=0\)というように、位ごとに足し引きしていくと0という11の倍数になります。したがって、123123も11の倍数だったということです。この法則も単体で使えたりするので、覚えておくと便利かもしれません。

3.おまけの裏技

最後に、桁数が多いのであまりお目にかかることはありませんが、ちょっとした裏ワザをご紹介します。

まず、2桁の数字の繰り返しになっている、4848のような数です。この数字を101という数字で割り算してみると、見事に割り切ることができます。なぜ割り切れるのかは、この割り算を筆算で計算していただくとご理解いただけるかと思います。さて、101というのは素数なので、素因数分解すると、\(101 \times 〇\)という数字になります。この〇には、48を素因数分解した\(2^4 \times 3\)が入ることになり、かなりの時間短縮になります。

続いて3桁の数字の繰り返しになっている、947947のような数についてです。これは先ほどと同じ理由で1001という数で割り切ることができます…が、なんと1001は素数ではありません。\(1001=7 \times 11 \times 13\)なので、この場合は、\(103103=7 \times 11 \times 13 \times 947\)となります。947は素数なので、素因数分解はここで完了となります。こういったテクニックも、覚えておくと周りの人と差が付けられるかもしれませんよ!

4.まとめ

いかがでしたでしょうか。ここまでの記事を読めば、皆さんも日常のあらゆる場面で素因数分解を楽しむことができるはずです。とくに、7の倍数を判定…というか計算できるようになれば盤石です。素因数分解についてはいろいろなサイトやアプリでゲーム化されているので、試しに始めてみると、意外とハマってしまうかもしれません。

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<文/伊藤智也>


素数表150000個 真実のみを記述する会(著) 暗黒通信団