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2022/06/29

空間図形(立体)の体積の求め方(三角柱、三角錐編)【算数からやさしく解説】

空間図形(立体)とは

空間図形(立体)とは、円や三角形などのような平面図形に「高さ」が加わったような図形のことです。例としては、円に高さを加えた円柱や三角形に高さを加えた三角柱、立方体などがあります。
立体にはどのようなものがあったのかをまとめた記事があるので、立体について少し心配な方は以前の記事をぜひご覧ください。
(参考:空間図形(立体)の総復習(三角柱・三角錐編)【算数からやさしく解説】

三角柱の体積の考え方

「柱」と「錐」で体積の計算方法が変わってくるので、まずは、三角柱の体積について解説していきます。
まずは前回の直方体の復習をしてみましょう。
体積とは
平面の図形をどれだけ「高さ」の方向に積み重ねたか
で考えました。
直方体に関しての記事は以下をご覧ください。
(「空間図形(立体)の体積(直方体・立方体編)」のリンクを貼る)

三角柱も直方体と全く同じように考える事ができます。つまり、
(三角柱の体積)=(底面の面積)×(高さ)
で求められます。

三角錐の体積

三角錐の体積は上の部分が尖っているので、同じ高さであれば同じ底面の形をした三角柱の体積よりも小さくなるはずです。
また、重ねていく図形の形が一定ではないので今まで通りの直方体や三角柱のように体積を求めることはできません。
ではどの様にして三角錐の体積を求めるのでしょうか。
実は、基本的に〇〇錐の体積は、同じ高さで同じ底面の形をした〇〇柱の体積の\(\frac{1}{3}\)になるのでこれを使って体積を求めます。

三角柱の体積は(底面の面積)×(高さ)だったので、三角錐の体積はこの\(\frac{1}{3}\)、つまり、
(三角錐の体積)\(=\frac{1}{3}×\)(三角柱の体積)
         \(=\frac{1}{3}×\)(底面の面積)\(×\)(高さ)

で求める事ができます。
「錐」の形の図形の体積を求めるときは\(\frac{1}{3}\)をつけることを忘れないようにしましょう。

実際に体積を求める

それでは実際に三角柱、三角錐の体積を計算してみましょう。
今回は高さが\(2\)で底面の三角形は辺の長さが\(3,4,5\)の直角三角形であるような三角柱、三角錐の体積を求めましょう。

底面の三角形の面積は\(\frac{1}{2}×3×4=6\)なので、三角柱の体積は\(6\)に高さの\(2\)を掛けて\(12\)とわかります。
三角錐の体積はこの三角柱の体積の\(\frac{1}{3}\)なので\(12×\frac{1}{3}=4\)になります。

三角柱・三角錐の体積の活用

なぜ、\(\frac{1}{3}\)になるのかについては、特別な形を除いて厳密には高校以降で学ぶ積分というものの知識が必要になってしまいます。
また、三角柱の体積の式をもう少し細かく見てみると、

(三角柱の体積)\(=\frac{1}{2}×\)(底面の三角形の底辺の「長さ」)\(×\)(底面の三角形の高さの「長さ」)\(×\)(三角柱の高さの「長さ」)

となり、前回に説明したように体積の式にはに長さに関する数がそれぞれ3個含まれている事がわかります。
三角錐の体積の式もこの法則に従ってる事がわかります。

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空間図形(立体)の体積の求め方(直方体・立方体)【算数からやさしく解説】

<文/尾崎>