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関数とは

関数とはざっくり言うと、入力した値（数）に対してある規則でもう一つの値を出力するルール（仕組み）のことです。関数と聞くと一次関数や二次関数などが思い浮かぶかもしれませんが、他にも小学校で学ぶ比例や反比例も関数です。
前回までに、文字を使って関数を表すことについて解説しました。今回は、$f(x)$や$g(x)$などのような関数に名前をつけることについて説明したいと思います。

どんなものが関数か

少し前回の内容を復習してみると、関数とは
1.ある値が入力される
2.その値がある規則によって変えられる
3.1つの（1通りの）値が出力される
といった流れがある仕組みのことを関数ということがわかりました。
関数としてみなせるものはタクシーのメーターや自動販売機などがありました。

関数にfという名前をつける

前回、文字を使って関数を表すことについて解説して、上のように$y=2x$などの式をみてきました。中学校あたりまでは基本的に数学で扱う関数は$y=4x$や$y=-x,y=2x^2$などの式が短い関数のみですが、高校以降の数学では式が長い関数やそもそも具体的に関数の式の形がわからない関数を扱う場合があります。
そのため、何回も長い式を書かないといけなかったり、関数の式を書けなかったりします。
そこで、アルファベットなどを使ってその関数に名前を付けます。例えば、関数(function)の頭文字を使って$f$を使ったりその次に$g$を使ったりするようにです。
ここで、上の関数の例でも出したように、多くの場合関数に名前を付けるときにはその後ろに$(x)$などが付きます。これは何を変数とする関数かを表していてます。例えば、関数が$f(x)$などのように書かれていれば、
$f(x)=(xを変数としたある関数)$
という風になります。
具体的に式が書ける関数に$f(x)=2x-1$とすれば、その文章や問題の中で$f(x)$が出てくればそれは$2x-1$として扱われることになります。

名前を付けることのイメージ

関数に名前を付けることのイメージがあまりつかめないときは、これまでの関数のイメージを使うことでよりわかりやすくなると思います。これまでに関数とは、簡単に言うとある流れがある仕組みのことを言いました。
どのような規則で入力を変化させて出力しているかわからないような“仕組み”（箱、関数）にはタクシーのメーターのように具体的に変数$x$を使った式を使う代わりに、その仕組みに$f$という名前をつけたのです。
このときの様子を図で表すと下図のようになります。

$x$を入力すると$f$という関数を通して$f(x)$という値を出力するものであると考えることができます。

関数に名前を付けることの活用

前回の「関数の活用例」でも話したように、関数にはより抽象的な写像と呼ばれるものがあります。今回の、具体的な式の形を用いる必要のない関数の表し方は、実数などの“数”でないものを含む集合に対する写像や圏論と呼ばれる理論の中でも活用されています。

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ｘやｙなどの文字（変数）を使って関数を表すには【算数からやさしく解説】

<文/尾崎>