こんにちは！和からの数学講師岡本です。今回は高校数学の範囲に現れる「タンジェント（正接）」に関する、ちょっと不思議で美しい等式をご紹介します。単なる計算では終わらない、「なぜ？」と考える楽しさを味わってみましょう。

１．タンジェントの不思議な等式

まずはこちらをご覧ください。

つまり、角の和が \(\pi\)（180度）であるとき、タンジェントの積がタンジェントの和に等しくなるのです！ にわかには信じがたいこの等式を、今回は実際に証明してみましょう。

２．加法定理を用いた証明

まず、\(\tan\theta\) の加法定理を確認しましょう。

\begin{align*}
\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}
\end{align*}

また、\(\tan(-\theta)=-\tan(\theta)\)、\(\tan(\pi)=0\) より、

\begin{align*}
\tan(\pi-\theta) = \frac{\tan(\pi)+\tan(-\theta)}{1 – \tan(\pi)\tan(-\theta)} = -\tan(\theta)
\end{align*}

が成立します。いま \(\alpha + \beta + \gamma = \pi\) とすると、

\begin{align*}
\tan \alpha = \tan(\pi – (\beta + \gamma)) = -\tan(\beta + \gamma) = -\frac{\tan \beta + \tan \gamma}{1 – \tan \beta \tan \gamma}
\end{align*}

ここで両辺の分母を払って整理すると、

\begin{align*}
-\tan \alpha (1 – \tan \beta \tan \gamma) = \tan \beta + \tan \gamma \Leftrightarrow \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma = \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma
\end{align*}

というわけで、等式がしっかり成り立つことがわかりました！

３．その他の証明方法

この等式には他にも複数のアプローチがあります。たとえば、複素数を使ったオイラーの公式 \(\mathrm{e}^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) を使えば、三角関数の合成や角度の性質を代数的に扱うことができます。また、図形的に三角形の内角を使った幾何的証明も可能です。次回以降のマスログでは、これらの視点も詳しく紹介していきます！

４．さいごに

この等式がなぜ成り立つのかを考える過程は、数学の醍醐味そのものです。目立たない公式でも、掘り下げると深い構造が現れるのは、数学の魅力の一つです。特に「式変形にどんな意味があるのか」を意識すると、ただの計算練習が思考のトレーニングに変わっていきます！ぜひ、他の三角関数でも同じような美しい関係がないか探してみてください！

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<文/岡本健太郎>