「大雑把」でOK！？柔らかい頭で楽しむトポロジー入門

 みなさんこんにちは！和からの数学講師の岡本です。今回は、数学の中でも一際不思議で、そして魅力的な分野「トポロジー（位相幾何学）」の世界と、2025年12月に開催したトークライブ（マストーク）についてご紹介します！
 

ドーナツとコーヒーカップは「同じ」形？

みなさんは、「ドーナツとコーヒーカップは同じ形である」という話を聞いたことがありますか？普通に考えれば、食べるドーナツと飲み物を入れるカップが同じはずはありません。しかし、トポロジー（位相幾何学）という数学の世界では、これらは「同じ」とみなされます。一体何が同じなのでしょうか？

それは、「穴が１つ空いている」という、大雑把な構造において同じなのです。

１．「大雑把」だからこそ宇宙の形が見えてくる

数学では、このような「大雑把な構造」を理解することが、実は非常に重要です。細かいデコボコや長さを無視することで、本質的な形が見えてくるからです。

例えば、「宇宙はどんな形をしているのだろう？」という、手の届きそうにない壮大な問題を考えてみましょう。私たちは宇宙全体を外から見ることはできません。しかし、トポロジーの考え方を使えば、内側から推測することができます。

想像してみてください。宇宙空間に向けて、非常に長いロープを投げ、手元に戻ってきたロープを引っ張ってみます。もし仮に、どこかで引っかかり、どう頑張ってもロープが一点に縮まらない（戻ってこない）とします。このとき、空間には「穴が開いているのではないか？」と考えることができます。

このように、長さを測らなくても、「連続的なつながり方」を調べることで、空間の性質を知ることができるのです。

２．柔らかい幾何学「トポロジー」のルール

トポロジーの世界では、基本的に距離（長さ）を考えません。そのため、立体を粘土のようにコネコネして形を変えても、基本的には同じものであると考えます。

これを数学的に表現すると、「連続的な変形で移り合うものは同じ」であると考えます。ただし、ルールがあります。それは、「貼り付けたり、切り取ったりしてはいけない」ということです。あくまで、グニャグニャと変形させることで重なる図形同士を「仲間」だとみなすのです。

この世界では、裏表のない「メビウスの帯」や、壺の内部と外部がつながっている「クラインの壺」、さらに不思議な「射影空間」など、常識を覆すような図形がたくさん登場します。

３．マストークでトポロジーの神秘に触れる

そんな不思議で面白いトポロジーの世界を、もっと深掘りしてみませんか？
トポロジーをテーマにしたトークライブ（マストーク）は、2025年12月に第64回として開催しました。マストークは毎月テーマを変えて開催しています。最新の日程とテーマは下の講座ページをご覧ください。過去回の動画は「数学アートサロン（MAS）」で視聴できます。はじめての方向けのガイダンス回もあります。

▼【ガイダンス回】マストークの入り口はこちら▼

ロマンを感じる数学トークライブ入門-身の回りから深淵へ-

 

▼【本編】マストーク（最新の日程）はこちら▼

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<文/ 岡本健太郎>