マツナカクエスト”キラキラ数学を探せ！” -第2話-
公開日
2024年11月6日
更新日
2024年11月14日
数学大好き松中宏樹がキラキラした素敵な数学を語る！
第2話はカントールの対角線論法について。
実数の集合の大きさと自然数の集合の大きさは違う！？
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例えば
これまず最初の例これがいいと思います
自然数というのは
小学生が算数で最初に習う数ですけど
1,2,3,4,5,6…
偶数というのは
2,4,6,8…
たぶんあの小学生に自然数と偶数どっちの方が多いですかって聞いたら
当然、自然数って答えますよね
でも数学のその
集合の大きさ台頭とか濃度とかっていうんですけど
そういう考え方を使ったら
もう自然数と偶数が1対1に対応するのは目に見えてますよね？
適当に自然数を1つ言ってみましょう
57とか適当に言ってみるとそれに対応する偶数は114
偶数の方でなんでもいい
適当に684とか最後が偶数だったら
偶数なんで684て言ったらそれに対応する自然数は342
片方一つ選んだらもう片方は対応するし
片方一つ選んだらもう片方は対応するってことができているので
自然数と偶数が1対1なんですね
大学設営的に言えば自然数と偶数どっちも同じくらいいっぱいあるよ
いうことになるんですよ
でもそんなこと言ったらじゃあ無限だったら
全部1対1対に対応するじゃんって思うわけじゃ無いですか
そうならない様な例文出していきます
コレは確かにどっちも出発点があったじゃないですか
出発点があったからなんか左から詰めて言ったら
1対1対に対応したけれど
出発がないようなもの、数で考えたいと思います
整数というのは自然数と0と負の自然数っていうもので
0だったら
1,2,3,4…
-1,-2-3…
左の方に続くわけですよ
こういう無限の数が出た時、無限入っている集合が
一体これは自然数と整数どっちの方が多いんだろう
完全理屈で小学生に聞いたらそれは自然数の方が多いっていうでしょう
どっちの方が多いですかねこれは
このマイナスの方がある分だけ整数の方が多い気がしちゃう
そうですよねありがとうございます
これ実は一緒なんですね
自然数と整数ものは同じなんですよ
一対一で対応がつけられるわけですね
自然数というのはちょうどいい具合に左端があってピッピッピッピって
並んでるわけですね
同じ整数も左端を作って並べればいいんですよ
左端って言われても勝手に決めちゃえばいいんですよ
0左端 1, -1, 2, -2, 3, -3…
さあこれ左端にばーっと無限に行くやつも含めてで
ちゃんのか
なんか0左端 1, -1, 2, -2, 3, -3
列に並べてるじゃないですか
ってことは自然すると整数というのは一対一に対応するんですよ
ちょっとこっちみたいに数式的にパッと書くのは難しくなりますけど
0に対して1が対応するよ
1に対して0が対応するよ
-2に対して5が対応するよ
5に対して-2が対応するよ
相方が見つかるわけですよ
この結果から自然数の整数というのは
大学生の使う言葉で言うと
等濃度というか同じだけあるよ
って話になりますね
無限は全部無限のも全部どんなものも
自然数と一対一になりそうと思うじゃないですか
有理数というのは分数
整数分の整数で表せる数ですね
有理数と言ったら5分の1とか8分の7とか-4分の1とか
4も有理数です
1分の4
πの場合は違います
整数分の整数じゃないとダメですね
有理数がたくさんあるときに
有理数と自然数って同じくらいあるのか？
有理数の方が多いんじゃないか
普通に考えたら有理数の方が絶対多いんですよ
だって数直線書いたら
0, 1, 2って自然数はこれですよ
1, 2, 3, 4…
有理数なんて
2分の1あるよと
4分の1あるし
2分の3あるし無限にあるわけですよ
1もそうだし
どう考えても自然数の方が少なくて
有理数の方が多そうじゃ無いですか
実はこれ一緒なんですよ
それをちょっとやってみたいと思います
つまり有理数を1列に並べることができれば成功です
1列に並べることができれば自然数も
1列に並べて左端から対応させていくことができるので
出発点を0にする場合にしても
0にして出発点
例えば1万分の1とかつくじゃ無いですか
1兆分の1の方がちっこいよとか
もっとちっこいのあるじゃんみたいな
簡単じゃないですね
整数に比べて1列に並べるのが
じゃあどうするかというのをやります
いろんな並べ方があると思うんですけど
横と縦の軸を考えます
有理数っていうのはn分のmって表せるので
横をnにして縦をmにしていきますね
この点は1分の2に対応しています
この点は5分の1に対応してるわけです
一応注意しないといけないのは
数学におけるタブー
0では来たらいけないというのがあります
つまり
考えたらいけない点があって考えてはいけない点は
0分の0とか0分の1とかこの辺の点はちょっと無視しましょう
無視するとそれ以外のどっかの点
こういうセット有理数になるわけですよ
そしたらなんか一列並べられそうなんです
ほんととちょっと注意があります
例えばここは1っていう有理数です
1分の1なんで
ここ2分の2なので1っていう有理数です
同じ有理数たくさん出てきます
それだけねちょっと言っておきます
5分の6と10分の12したじゃないですか
同じ有理数はたくさんあるんですけど少なくとも
どの有理数もそのどっかに現れるんですよ
1列にしましょうと
ここにも点があるしここにも点があるしここにも点があるし
どうやって1列並べるの？って思うかもしれないんですけど
ここらへん出発点にしましょう
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13みたいな感じで
中からグイングイングイングインってやれば
1列に並ぶわけですよ
1列に並んでなおかつ
同じ既に出てきたやつがあってたら飛ばそうと
1分の1で、1が出てるんで
ここ-1に対応するんですね
1, 0, -1に対応して
ここがまた1に対応するんですけどここは飛ばします
既に出たのがあったら飛ばします
飛ばしていけば全ての有理数が一直線に並びます
あの左端が一直線に並ぶってことは自然数と有理数は同じ数だけある
濃度が一緒って言っていい
何が来るっていうかというと
いやもうこ前からや無限のものは全部1列に並べられるだろうと
思うわけですけれども
実は1列に並べられない無限があるわけですね
それが何かっていうと
実数
実数いうのは、数ですね
前がのあれですよ
小学生とか中学生に数ってきたら数直線なんですよね
0があって、1があって、2があって
数直線上には数がのってるし
数を一個決めた数直線には点が決まるってことで
実数イコール垂直線なんですよね見方的に
今まで考えた有理数とか確かに実数数直線にあるんですけど
穴ぼこがあるわけです
穴ぼこの代表例はルート2とかですね
ルート2とかπとか
穴が空いてるんですね
見た目的には穴は空いてないけれど
有理数の考えたら穴ぼこだらけなんですよ
もうね穴ぼこだらけすぎてやばいです
どっかに一つ選んだときにそれが有理数である確率は0です
穴だらけです
上の大事なのは実数は1列に並べられないんです
1列に並べたと思っても
私がまだ入ってませんよって人が出てきますね
どう並べてもっていうことはちょっと証明したいと思います
実数が1列に並べられないよということを言うために言うんですけど
いやいや0と1の間
0より多くて1より小さい実数が1列に並べられなかったら
それ以外の数も1列に並べられないんじゃないの実質全体
なので0と1の間にある数は1列に並べられないということを
証明します
ちょっとはコンセプト離れるんで
0.5っていうのは実は0,4999…
1 =0,9999…
なんですね
あのどんな少数も無限少数にできるという原点はあるような
3.57って言うものの実はこれ3.569999…
どんな有理数も無限に続く少数で合わせるんです
ちょっと知っておいてもらいます
ここからちょっと数学的に難しくなります
0と1の間にある x っていう人は1列に並べられない
あのそういう人の集合です
0と1の間にある数集合をこうかけます
0と1のようにある数というのはどうかけるかってというと
例えば 0.34211323
記号を使わせてもらいます
0.a11, a12, a13, a14, a15…
a1iっていうのは｛0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9｝どれかです
iっていうのは1, 2, 3, 4…
a11, a12みたいな
こう言う数1つ作れば0と1の間の数が1個決まるわけですよね？
全部0だったら0だし全部9だったら1なんですけど
イコール入れといても良いです
そうするとですね
じゃあ
今から実数が1列に並べられないこと言いますね
0以上1以下の実数が1列に並べられないこと言うために
並べられると仮定して
矛盾を導きます
なので一列にならべちゃいます
なので
0.a21, a22, a23, a24, a25…
0.a31, a32, a33, a34, a35…
.
.
.
並べられたと仮定しましょう
そしたらどんな実数も
0と1の間にある実数も
私はここにいますみたいにどっかに入っているはずなんですね
1列並べてるんでどんな人も
3/4さんもどっかにいるはずだし
この人とかいるはずなんです
でもこの中にいない人今から作り出します
全部こうやって1列につなげられたと思っているけれど
私入ってないよって人はいます
それを作りますそれが作れば一人でもはいっていないことを
入れたらいいわけですよ
全員ここの1列に並んでるって言ってるので
いやどういうものを考えるかっていうという
入ってないのはこの人です
0.b1, b2, b3, b4, b5, b6…
このb1って何かっていうとb1はですね
b1は
0か1なんですけど a11が奇数だったら0
b1は
a11がですね0から9の数字のどれかを取をとるんですけど
11が奇数だったら0
a11が
偶数だったら1を取るような数としましょう
b2も同じようにですね
a22奇数だったら0
偶数だったら1を取るような人だとしましょう
その様にして
0.b1, b2, b3, b4, b5, b6…
作ります
その人はこの中にいません
私が3番目にますよとこの人が言ったとしましょう
3番に行くって言われました
でもあなた
b3とa3と違うじゃん
a3がもし偶数なら1なんでしょと
奇数だったら0なんでしょと
b3とa3は一致しないわけですよ
そうですよね
a22が奇数の時偶数になってるし
a22が偶数の時奇数になってるので
絶対3番目にはいないわけです
1番目にもいないです
だってこれ一致しないので
って考えたらどんな番号
私1億7502番目にいますよって
いそうだよって誰か教えてくれても
bの1億7200何番目が違うわけです
だから実数を1列に並べる仮定したら
矛盾が導けましたということで
実は自然数よりも実数の方が多いんです
超多いんです
っていうのはですね
まずその集合の中の面白いところなんですよ
この先にまた実数よりも大きい集合はあるのかとか
自然数と実数の間に入る集合ないのかとか
それで数学のの話が広まっていくんですね
続けようと思ったら続けられるんですけど
今日はこんくらいにさせてもらいます
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