【パズル的数学】2次関数と図形の問題②～エレガントな別解を味わう～

算数・物理・数学トピック

公開日

2023年4月9日

更新日

2023年4月9日

みなさんこんにちは！和からの数学講師の岡本です。以前、マスログで以下の話題を扱いました。

【パズル的数学】2次関数と図形の問題

放物線上の３点をもつ平行四辺形の面積の問題です。今回はその続きということで別の解法をご紹介しようと思います。

この記事の主な内容

１．2次関数と平行四辺形の問題（再掲）

まずは問題を思い出してみましょう。

【問題】2次関数\(y=x^2\)で与えらえる曲線\(C\)と２つの平行な直線\(L_1\):\(y=ax+b\),直線\(L_2\):\(y=ax+c\)を考えます。ただし、\(a, b, c\)は正の実数であり、\(b>c\)とします。このとき\(C\)と\(L_1\)の２つの交点をA,B、\(L_2\)との交点をC,Dとします。また、ADとB’Cが平行になるように線分AB上に点B’を考えます。このとき、平行四辺形AB’CDの面積を\(a, b, c\)を用いて表して下さい。

「平行四辺形の面積＝底辺×高さ」という公式に注目し、前回は下図のように底辺\(L\)と高さ\(d\)を力技で求め、面積を計算しました。今回はもう少し「エレガント」な解法をご紹介します。

２．線形代数の力をお借りする

\(\overrightarrow{\mathrm{DA}}\)と\(\overrightarrow{\mathrm{DC}}\)が成分で表すことができれば、この２つのベクトルで張られる平行四辺形の面積は「行列式」を使って1発で計算することができます。今回、点A、点D、点Cの座標は二次関数と直線の交点であり、それぞれA\((\alpha, \alpha^2\)),D\((\delta, \delta^2)\),C\((\gamma,\gamma^2)\)と表すことにします。すると

\begin{align*}
\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\begin{pmatrix}\alpha-\delta \\ \alpha^2-\delta^2 \end{pmatrix}, \overrightarrow{\mathrm{DC}}=\begin{pmatrix}\gamma-\delta \\ \gamma^2-\delta^2 \end{pmatrix},
\end{align*}

であり、２つのベクトルで張られる平行四辺形の面積\(S\)は２つの縦ベクトルを横に並べることで得られる２×２の正方行列の行列式の絶対値で計算できます。

\begin{align*}
S&=\left|\det \begin{pmatrix}
\alpha-\delta & \gamma-\delta \\
\alpha^2-\delta^2 & \gamma^2-\delta^2
\end{pmatrix}\right|\\
&=|(\alpha-\delta)(\gamma^2-\delta^2)-(\gamma-\delta)(\alpha^2-\delta^2)|\\
&=|(\gamma-\delta)\{(\alpha-\delta)(\gamma+\delta)-(\alpha^2-\delta^2)\}|
\end{align*}

ここで、\(\delta, \gamma\)は2次方程式\(x^2-ax-c=0\)の解なので、\(\gamma+\delta=a\)であり、2次方程式の解の公式から

\begin{align*}
\gamma-\delta=\frac{a+\sqrt{a^2+4c}}{2}-\frac{a-\sqrt{a^2+4c}}{2}=\sqrt{a^2+4c}
\end{align*}

であることがわかります。また、\(\alpha^2=a\alpha+b\),\(\delta^2=a\delta+c\)と表すことができるので

\begin{align*}
S=|(\gamma-\delta)\{a(\alpha-\delta)-a(\alpha-\delta)-(b-c)\}=|(\gamma-\delta)(-b+c)|=(b-c)\sqrt{a^2+4c}
\end{align*}

となり、面積を求めることができました（前回の記事と同じ式が得られました）。

【パズル的数学】2次関数と図形の問題

３．図形の性質をうまく利用する方法

もう一つ解法をご紹介します。これは最も素朴で、最も簡単な方法です。まず、点Aと点B’をAB’の長さを変えずにA’Dが\(y\)軸と平行になるように直線\(L_1\)上で移動させます。

こうしてできる平行四辺形A’B”CDはもとの平行四辺形と同じ面積\(S\)になります。A’Dの長さは\(L_1\)と\(L_2\)の切片の幅と同じ\(b-c\)となります。また、底辺をA’Dと考えると高さは幅\(\gamma-\delta=\sqrt{a^2+4c}\)であるので、求める面積\(S\)は

\begin{align*}
S=(b-c)\sqrt{a^2+4c}
\end{align*}

であることがわかりました。こうした、面積を同じにしたまま図形を変形させることを「等積変形」と呼びます。