2つの円の位置関係～最近印象に残った授業～

こんにちは。今日は「2つの円の位置関係」について考えた授業が印象に残ったので、その話をしたいと思います。円同士の関係を数式で整理し、それを視覚的に捉えることで、より理解が深まった面白い内容でした。

2つの円の位置関係を決める要素

2つの円がどのような位置関係にあるかは、以下の3つの値で決まります。

• 大きい方の円の半径（ R ）

• 小さい方の円の半径（ r ）

• 円の中心間の距離（ d ）

この3つの値をもとに、円の位置関係が次のように決まります。

1. R + r < d のとき → 2つの円は離れている

2. R + r = d のとき → 2つの円は外接する

3. |R – r| < d < R + r のとき → 2つの円は2点で交わる

4. |R – r| = d のとき → 2つの円は内接する（小さい円が大きい円の内部にある）

5. d < |R – r| のとき → 小さい円が大きい円の内部に完全に収まっている

3次元での可視化の試み

円の位置関係は、3つの変数（ R , r , d ）によって決まるため、3次元空間で可視化できるのでは？と考えました。

そこで、座標軸を R , r , d の3軸に設定し、異なる位置関係がどのように区別されるかを視覚化しようとしました。例えば、平面 R + r = d の上では外接し、別の平面では2点で交わる…というふうに分類できます。

しかし、3次元での可視化は思った以上に複雑で、領域の境界が直感的に掴みにくかったため、別の方法を考えることにしました。

2次元での可視化

次に考えたのが、中心間距離 d を固定し、 R と r を座標平面上にプロットする方法です。

この場合、位置関係を決める境界線は、次の3つの直線として表せます。

• R + r = d （外接）

• |R – r| = d （内接）

• R – r = d または r – R = d （内部に完全に収まる）

d = 1 の場合を考えると、 R, r 平面上に直線が引かれ、それぞれの領域に対応する円の位置関係が決まることが分かります。

1. R + r < d の領域 → 2つの円は離れている

2. R + r = d の境界線 → 2つの円は外接する

3. |R – r| < d < R + r の領域 → 2点で交わる

4. |R – r| = d の境界線 → 2つの円は内接する

5. d < |R – r| の領域 → 小さい円が完全に収まっている

実際に可視化してみると…

ここで、「Desmos」や「GeoGebra」といった数式を可視化できるツールを使い、円の位置関係を動的に見られるようにしました。

例えば、 (R, r) の点を動かすと、それに対応する2つの円の関係もリアルタイムで変化します。

• 離れている領域では円同士が離れる

• 外接する直線上では円がぴったり接する

• 2点で交わる領域では、円が交差する様子が見える

• 内接の境界線上では、円がちょうど接するように見える

• 完全に収まる領域では、小さい円が大きい円の中にすっぽり収まる

こうして視覚的に確認することで、式だけではイメージしにくかった円の位置関係が直感的に理解できるようになりました。

数学を楽しく学ぶために

今回の授業では、円の位置関係を 数式だけでなく、実際に可視化する ことによって理解が深まりました。

数学は、一見すると単調な計算や理論の積み重ねに感じることもあります。しかし、視覚的に楽しみながら学ぶことで、新しい発見があるかもしれません。

「Desmos」や「GeoGebra」などのツールを活用すれば、数学をもっと楽しく学ぶことができます。ぜひ、皆さんも試してみてください！