三角形の重心～最近印象に残った授業～

こんにちは！今日は、最近印象に残った授業 についてお話ししたいと思います。テーマは 三角形の重心 です。

重心といえば、中学や高校の数学で出てくる馴染み深い概念ですが、「なぜその位置が重心になるのか？」を物理的な視点から考えると、また違った面白さがあります。今回は、重心の求め方や、その計算の背後にある考え方について紹介していきます！

重心とは？

まず、重心とは何かを改めて確認しておきましょう。

重心とは、物体の重さが均等に分布しているとき、ちょうど釣り合う一点 のことです。例えば、三角形の重心を見つけるには、「その点で支えたときに三角形がバランスを取れる場所」を探せばいいわけです。

物理学では「モーメントのつり合い」という考え方を使って重心を求めます。具体的には、三角形の各頂点の座標と、その点に質量が集中していると考えた場合の重みづけを用いて、重心の座標を計算することができます。

三角形の重心を計算する

実際に、平面上に三角形を置き、その重心を求めてみましょう。

ここでは、三角形の3つの頂点を A(0, 0), B(a, 0), C(0, b) として考えます。この三角形の重心の座標 $X_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} Y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

それぞれの頂点の座標を代入すると、

$X_G = \frac{0 + a + 0}{3} = \frac{a}{3}, \quad Y_G = \frac{0 + 0 + b}{3} = \frac{b}{3}$

となります。つまり、三角形の重心は 「各頂点の座標の平均」 で求められるのです！

この結果から、どんな三角形でも、3つの頂点の座標を足して3で割れば重心が求まる ということが分かります。

物理学的な視点から見る重心

数学的に計算して求めた重心ですが、実は物理の視点からも納得することができます。

物体が釣り合うためには、「モーメントのつり合い」が成り立つ必要があります。モーメントとは、「力の大きさ × その力の作用点の距離」で表される量です。三角形の各頂点に質量を持たせ、それぞれの点のモーメントを考えることで、重心の公式と同じ形の計算式が導かれます。

つまり、三角形の重心は「重さのバランスがちょうど取れる点」ということが物理的にも説明できるのです。

実際に計算してみよう！

今回紹介した方法を使えば、さまざまな三角形の重心を求めることができます。

例えば、直角二等辺三角形や正三角形の重心 を求めてみると、公式通りの結果になることが確認できます。特に、正三角形の場合、重心は三角形の内部にあり、高さの1/3の位置にある ことがわかります。これは実際に手を動かして計算すると、より納得できるでしょう。

また、物理的な考え方を活用すれば、三角形以外の図形についても重心を求めることができます。例えば、四角形や円などの重心も、同じような方法で求めることができるので、気になった方はぜひ試してみてください！

まとめ

今回の授業では、三角形の重心 を数学的・物理的な視点の両方から考えてみました。

• 数学的には：「各頂点の座標を足して3で割る」というシンプルな計算で求められる

• 物理的には：「モーメントのつり合い」を考えることで、なぜその位置が重心になるのかが説明できる

普段何気なく使っている公式も、違う視点から見てみると新しい発見があるものですね！

次回も、数学の面白い話題をお届けします。お楽しみに！