ほとんど高校生の知識でゼータ関数の超えられない壁を超える

公開日

2025年2月4日

更新日

2025年3月9日

ほとんど高校生の知識でゼータ関数の超えられない壁を超える

こんにちは！今回は、「ほとんど高校生の知識でゼータ関数の超えられない壁を超える」というテーマでお話しします。ゼータ関数は数学の世界で非常に重要な役割を果たす関数ですが、その深い部分に踏み込もうとすると「壁」にぶつかることになります。果たして高校生の知識だけでその壁を越えることはできるのでしょうか？挑戦してみましょう！

ゼータ関数とは

まず、ゼータ関数について簡単におさらいします。ゼータ関数は次のような無限級数で定義される関数です。

\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \dots

たとえば、 s = 2 を代入すると、

\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots

となり、これは収束することが知られています。このようにゼータ関数は一見すると単純な無限級数の形をしており、小学生でも式の形は理解できるかもしれません。

しかし、このゼータ関数の本当の面白さは「複素数 s を代入したとき」に現れます。特に「リーマン予想」に関連する話題は、複素数の世界で議論されるため、単なる実数だけでは理解しきれません。では、高校生の知識だけでどこまでこのゼータ関数に迫ることができるのでしょうか？

高校生の知識で複素数のゼータ関数を扱う

幸いなことに、高校生は複素数を学習しています。特に「オイラーの公式」

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

を使えば、指数の形で複素数を扱うことができます。ゼータ関数の式に複素数を入れたとき、各項は

n^{a+bi} = n^a \cdot e^{i b \log n}

と変形できます。このように、高校生の知識があれば、複素数を含んだゼータ関数の計算自体は問題なく行えるわけです。

ここまでくると、「高校生でもゼータ関数を計算できるぞ！」と意気込むところですが、実はここで大きな壁にぶつかることになります。

ゼータ関数の「超えられない壁」

問題は、この無限級数の式が 「すべての複素数 s に対して有効ではない」 ということです。この式は 実部が 1 より大きい範囲 でしか使えません。つまり、\( \operatorname{Re}(s) \leq 1 \) の領域では、ゼータ関数をこの形で扱うことができない のです。

なぜなら、右辺の無限級数は s の実部が 1 以下になると発散してしまう からです。高校生の知識でゼータ関数を扱うには、この「壁」を何とかして乗り越えなければなりません。

ゼータ関数の面白さは「壁の向こう側」にある

ゼータ関数は、素数に関する深い情報を持っています。しかし、その「素数の情報」は、この「超えられない壁」の 左側（\( \operatorname{Re}(s) \leq 1 \) の領域） にあるのです。つまり、高校生の知識だけでは本当に知りたい情報にアクセスできないことになります。

特に、「リーマン予想」は、この \( \operatorname{Re}(s) = \frac{1}{2} \) のライン上のゼロ点に関する予想です。このラインこそが、ゼータ関数の持つ素数の情報の宝庫なのですが、高校生が知っている級数の形ではこの領域を扱うことができません。

これは数学を学び始めた高校生にとって、なかなか悔しい状況ではないでしょうか？