【マスログ】電卓でn乗根を求める!!そして現れたメルセンヌ数!!

こんにちは！今回は、電卓を使って n乗根 を求める方法を紹介します。普段の計算では「√（ルート）」ボタンを使って平方根を求めることができますが、「3乗根」や「5乗根」などはどうやって求めればいいのでしょうか？ 実は、ちょっとした操作を繰り返すことで 簡単に求めることができる んです！

さらに、この方法を研究していると、数学の世界で有名な メルセンヌ数 という不思議な数が現れました。一体どういうことなのか？ さっそく見ていきましょう！

 

n乗根とは？

まず、n乗根について簡単におさらいしましょう。

• 平方根（√4） は、「2乗すると4になる数」で、答えは 2 です。

• 3乗根（∛8） は、「3乗すると8になる数」で、答えは 2 です。

• n乗根（ⁿ√a） とは、「n乗するとaになる数」を意味します。

例えば、n乗根の記号は次のように書かれます。

\sqrt[3]{8} = 2, \quad \sqrt[5]{32} = 2, \quad \sqrt[7]{128} = 2

このように、平方根と同じ感覚で 「n乗根」 も求めることができるわけですね！

しかし、電卓には 3乗根ボタン も 5乗根ボタン もついていません。では、どうやって求めればいいのでしょうか？

 

電卓で3乗根を求める方法

実は、普通の電卓でも 3乗根 を求めることができます！ その方法はとてもシンプルで、次の手順を繰り返すだけです。

1. 「1」を入力

2. 「×（求める数）」を押す

3. 「＝」を押す

4. 「√（ルート）」を2回押す

5. 2～4を繰り返す

例えば、7の3乗根（∛7） を求める場合は、次のように計算します。

1. 「1」を入力

2. 「×7」を押す

3. 「＝」を押す → 「7」が表示される

4. 「√」を2回押す（＝4乗根をとる）

5. また「×7」を押す

6. 「＝」を押す → 値が変わる

7. 再び「√」を2回押す

これを何度も繰り返すと、値が 1.913… に収束していきます。実際に 1.913³ を計算すると、約 7 になるので、正しい値に近づいていることが分かります！

この方法を使えば、電卓だけで3乗根が求められる のです！

 

3乗根の計算を数学的に証明する

では、なぜこの方法で3乗根が求められるのでしょうか？ 数学的に考えてみましょう。

この方法で求める数列 a_n を定義すると、次のような漸化式が成り立ちます。

a_0 = 1, \quad a_{n+1} = \sqrt{\sqrt{a_n \times A}}

この数列がどのように収束するかを解析すると、最終的に次の式に近づくことが分かります。

\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt[3]{A}

つまり、この操作を何度も繰り返せば、n乗根に収束する ことが数学的にも証明できるのです！

5乗根、7乗根なども求められる！

3乗根が求められるなら、「5乗根」や「7乗根」も求められそうですよね？ 実は、それらも 電卓で計算可能です！

基本の考え方は同じで、以下の手順を使います。

• 5乗根（∛a） → 「×a」→ 「√」を4回押す

• 7乗根（∜a） → 「×a」→ 「√」を6回押す

このように、√を押す回数を増やすだけで、任意のn乗根が求められる のです！

また、偶数乗根（4乗根、6乗根、8乗根） については、平方根（√）を組み合わせることで求めることができます。

例えば、4乗根（∜a） は、平方根を2回押す ことで計算できます。

 

突然現れたメルセンヌ数！

ここで興味深い事実が現れました。

「電卓で求められるn乗根の範囲」を調べていたところ、特定の形の数だけが 計算可能 であることが分かったのです。それが メルセンヌ数 です！

メルセンヌ数とは？

メルセンヌ数は、次の形で表される特別な数です。

M_p = 2^p – 1

例えば、以下のような数がメルセンヌ数になります。

3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, …

この数たちは、特定の素数 p に対してのみ現れることが知られています。実は、メルセンヌ数には数学的に面白い性質があり、完全数 や 素数探索 にも関係しています。

さらに、このメルセンヌ数の素因数を調べると、「n乗根を電卓で求めることができる数」と 深い関係があることが判明しました！

 

まとめ

今回の内容を振り返ると、

• 電卓の「√」ボタンを使うことで n乗根を求めることができる！

• 3乗根、5乗根、7乗根なども、√の回数を調整すれば計算可能！

• この方法を数学的に解析すると、ちゃんと n乗根に収束することが証明できる！

• n乗根を計算できる数を調べていたら、メルセンヌ数 という不思議な数が現れた！

数学の世界は、意外なところで 「不思議なつながり」 が生まれるものです！次回は、このメルセンヌ数とn乗根の関係について、さらに深掘りしていきたいと思います。お楽しみに！