【ロマ数トレラン】代数的整数論の基礎 ― 理想素因子の理論をクンマーに学ぶ
公開日
2025年10月28日
更新日
2025年10月28日
19世紀のはじめ、ガウスが公表した4次剰余の理論を受けて代数的整数論の一般理論への道が開かれました。ガウスの継承者たちの名を挙げると、ヤコビ、ディリクレ、クンマー、クロネッカー、アイゼンシュタインという5人の数学者が次々と念頭に浮かびます。ガウスは4次剰余の理論を繰り広げて「基本定理」という名のもとで「4次相互法則」に到達しましたが、その証明については語らず、ただ神秘に覆われているという認識の表明にとどめました。そこで4次剰余相互法則を証明することが、継承者たちの当面の目標になり、同時に3次相互法則の探索もまた試みられました。
ガウスは数論の場を複素数域に移すという決意を明らかにしましたが、これを実行するとたちまちいくつもの乗り越え難い壁にぶつかります。大きな壁のひとつは素因子分解の一意性が破れること、もうひとつの壁は単数の出現状況がきわめて複雑になることです。前者の壁を乗り越えるためにクンマーが構築したのが理想素因子の理論である。そこで今回のトレランではクンマーの初期の諸論文に沿って理想素因子の理論の形成過程を振り返るとともに、高次冪剰余相互法則に続く道を展望したいと思います。クンマーの理想素因子の理論とデデキントのイデアルの理論との関係にも注目したいです。
受講対象
これから学ぼうとする人，学びつつある人，学び直そうと考えている人など，数論に関心のあるすべての人びと．
必要な数学知識
特別の知識はいらないです．
セミナー内容
クンマーの諸論文を解説します。参考文書の中心は、理想素因子に関するクンマーの諸論文の紹介です。クンマーは大量の計算を実行し、大きな数表を作成しています。その作成の手順の確認と再現をめざします。
【キーワード】
・「ブレスラウの論文」
・高次冪剰余相互法則
・冪剰余記号
・フェルマの大定理
・ガウス整数
・複素整数
・複素整数のノルム
・複素数域におけるフェルマの小定理
・複素単数
・理想素因子の第1の定義
・理想素因子の第2の定義
セミナー基本構成
※内容によっては授業内に演習時間を含める場合がございます
∞セミナーの目的∞
代数的整数論の基礎理論のひとつはデデキントが提案したイデアルの理論ですが、デデキントがモデルにしたのはクンマーの理想素因子の理論です。素因子分解にまつわる問題を理解するための鍵はデデキントではなくクンマーが握っています。そこで理想素因子が発見される経緯を振り返り、「素であるもの」への認識と理解を深めることをめざします。
∞セミナーの進め方∞
毎回、参考文書を配布して解説します。講義の形式で進めますが、クンマーが作成した数表の確認などは受講者による演習の形にしたいです。
∞テキスト∞
高瀬正仁『クンマー先生のイデアル論』（現代数学社）
∞本編受講希望者の方向けの注意事項∞
・通信トラブル等が発生した時に、講師、受講生で円滑に連絡を取り合えるようLINEグループを作成します。LINEグループへの参加は必須とさせていただきますので、予めご了承ください。
・オンラインセミナー受講の際に必要となるパソコン、タブレットまたはスマホ等の通信機器、およびWiFi等のインターネット接続サービスは受講生ご自身でご準備いただきます。
・Apple Pencilなどのスタイラスペンやペンタブなど、画面にペンによる書き込み、描画を行える環境をご準備いただくことを推奨いたします。
・欠席者には録画動画だけでなく、セミナーで使用する配布資料(pdfファイルやurl等)も出席者同様配布いたします。
※開催回ごとに多少構成が変わることがあります。
料金
参考テキスト
特定商取引法に基づく表示
セミナー監修
高瀬正仁 (たかせ まさひと)
1951年、群馬県の山村、勢多郡東村（現在、みどり市）に生れる。東京大学卒業後、九州大学大学院に進む。大学院は理学研究科数学専攻。前期修士課程修了。後期博士課程中退。九州大学理学部数学科助手、講師、准教授を経て、基幹教育院教授。2016年、定年退職。
専攻は多変数関数論と近代数学史。オイラー、ガウス、アーベル、リーマンなど、数学の古典の翻訳を続けるとともに、岡潔と高木貞治の評伝を執筆した。
担当講師
※日程により一部講師が変わる事があります。
会場とスケジュール
本編（有料）
オンライン教室第01回 2025年12月07日(日) 14:00～16:30
第02回 2025年12月21日(日) 14:00～16:30
第03回 2026年01月04日(日) 14:00～16:30
第04回 2025年01月18日(日) 14:00～16:30
第05回 2025年02月01日(日) 14:00～16:30
第06回 2025年02月15日(日) 14:00～16:30
第07回 2025年03月10日(日) 14:00～16:30
第08回 2025年03月15日(日) 14:00～16:30
第09回 2025年03月29日(日) 14:00～16:30
第10回 2025年04月19日(日) 14:00～16:30
※最小履行人数は4名となります。最小履行人数に満たない場合、非開催となり、料金は返金させていただきます。
※ガイダンス回翌日18:00時点での申込数が定員を超えている場合は、抽選にて参加者を決定させていただきます。予めご了承ください。
※本編お申し込みの方にはご入金方法をメールでご連絡いたします。
