線形代数体系マスター講座-行列から固有値・ジョルダン標準形へ、大学数学の奥深さを味わう線形代数-

✓ 大学で線形代数を学んだものの、「計算はできたけれど、意味がよく分からなかった」という方

✓ 機械学習やデータ分析を学ぶ中で、行列・固有値などの数学的な基礎を固め直したいエンジニア・データ分析担当の方

✓ 線形代数を断片的な知識ではなく、ジョルダン標準形まで一通り体系的に学びたい方

✓ 数学が好きで、趣味や知的好奇心から大学数学の世界を本格的に探究してみたい方

✓ 大学でこれから線形代数を履修する方や、授業で学んだ内容をより深く理解したい学生の方

✓ 公式や計算方法を覚えるだけでなく、その背景にある数学的な意味や理論を理解したい方

一次変換と行列

～行列は「空間を動かす変換」～

写像と変換の考え方から出発し、平面の一次変換（回転・拡大・対称移動・せん断）が行列で表せることを学びます。行列の定義と演算（和・スカラー倍・積）、変換の合成が行列の積になる理由、積の非可換性、転置・対称行列など行列の種類と性質までを扱います。

連立一次方程式と逆行列

～掃き出し法をマスターする～

連立一次方程式を拡大係数行列で表し、行基本変形（掃き出し法・ガウスの消去法）で解く手順を学びます。行列の階数（ランク）と解の個数（ただ1つ・無数・解なし）の関係を整理したうえで、基本行列の正体、正則行列と逆行列、掃き出し法による逆行列の計算までを演習します。

行列式

～面積・体積の拡大率と余因子展開～

行列式を「変換による面積・体積の拡大率」として定義し、2次・3次の計算（サラスの方法）と、多重線形性・交代性・積の行列式などの基本性質を学びます。後半は余因子と余因子展開による高次の行列式の計算、余因子行列を用いた逆行列の公式までを扱います。

ベクトル空間・基底と次元

～「ベクトル」を抽象化する～

「足し算とスカラー倍ができるもの」としてベクトル空間を捉え直し、部分空間、一次結合、一次独立・一次従属を学びます。そのうえで、空間の「座標軸」にあたる基底と、空間の大きさを表す次元の概念を導入し、行列式や階数を用いた基底の判定・次元の計算を演習します。

線形写像と内積

～構造を保つ写像と「長さ・角度」～

一次変換を一般の次元へ広げた線形写像を定義し、その基本性質と行列表現（基底の行き先を並べる）を学びます。後半は内積の定義と性質、長さと角度、正規直交基底、直交変換・ユニタリ変換、ベクトル積（外積）を扱い、類似度計算などの応用にも触れます。

固有値・固有ベクトルと対角化

～行列の「個性」を読み解く～

変換で向きを変えない特別な方向として固有ベクトルを導入し、固有多項式（特性方程式）による固有値の計算、固有空間、固有値の重複度と固有空間の次元の関係を学びます。そのうえで対角化の条件と手順、対角化による行列のべき乗の計算を演習し、マルコフ連鎖（推移の長期予測）などの応用を紹介します。

最小多項式とジョルダン標準形

～線形代数の到達点へ～

対角化できない行列はどう扱えばよいのか——その答えとして、最小多項式による対角化の判定、広義固有空間、ジョルダン標準形の計算、ジョルダン分解を学びます。最後に全7回を総括し、PageRank・主成分分析(PCA)・特異値分解(SVD)など、線形代数のこの先に広がる世界を紹介します。