パスカルの三角形とは｜組み合わせと確率の宝庫をやさしく解説

この記事のポイント

・パスカルの三角形とは、「すぐ上の2つの数を足す」だけでできる、数のピラミッド
・並ぶ数の正体は組み合わせの数（nCr）。だから確率や場合の数と直結する
・二項展開（a+b）のn乗の係数がそのまま並んでいる
・各行の和は2のn乗、斜めに足すとフィボナッチ数列——隠れた模様が満載

数学の世界には、シンプルなのに驚くほど奥深いものがあります。その代表がパスカルの三角形。作り方は「上の2つを足すだけ」という、小学生でも分かるルールなのに、組み合わせ・確率・二項展開・フィボナッチ数列まで、さまざまな数学がここに姿を現します。

この記事では、パスカルの三角形とは何かを、その作り方から隠れたパターンまで、累計3万人以上を指導してきた和からの視点でやさしく解説します。数学の“つながり”の面白さを、肩の力を抜いて味わってみてください。

パスカルの三角形とは｜「上の2つを足す」三角形

図：パスカルの三角形（上の2つを足す）

パスカルの三角形は、次のように作られる数の三角形です。一番上は「1」。各段の両端は「1」。そして、それ以外の数は、すぐ上にある2つの数を足したものになります。

　　　　1
　　　1　1
　　1　2　1
　 1　3　3　1
　1　4　6　4　1
1　5　10　10　5　1

上から1段目、2段目と数えると、4段目は「1, 3, 3, 1」、5段目は「1, 4, 6, 4, 1」です。数式では一番上をn＝0の行とするのが一般的なので、5段目はn＝4の行です。名称は17世紀のブレーズ・パスカルに由来しますが、同じ三角形はそれ以前から中国・ペルシャ・インドなどで研究されていました。

並ぶ数の正体｜組み合わせ（nCr）

この三角形に並ぶ数には、ちゃんとした“正体”があります。それは組み合わせの数（nCr）——「n個からr個を選ぶ方法は何通りか」を表す数です。

たとえば「4個から2個を選ぶ組み合わせ」は6通りで、n＝4の行（上から数えて5段目）の中央「6」と一致します。n行目の左からr番目を0から数えると、その値は組み合わせ nCr です。行番号を0から数えると、二項展開や確率との対応がずれません。

二項展開の係数になっている

もう一つの顔が、二項展開の係数です。（a＋b）を何乗かに展開したときの、各項の前につく数字が、パスカルの三角形にそのまま並びます。

たとえば（a＋b）の2乗は a²＋2ab＋b² で、係数は「1, 2, 1」。これは三角形の3段目そのもの。（a＋b）の3乗なら係数は「1, 3, 3, 1」で4段目。展開の面倒な係数を、足し算だけで求められる——これがパスカルの三角形の実用的な強みです。

隠れたパターン｜数学がつながる瞬間

パスカルの三角形には、ほかにも美しいパターンが隠れています。

n＝0から数えた行の和は2のn乗です。「1, 2, 1」はn＝2なので和は4、「1, 3, 3, 1」はn＝3なので和は8です。これは偶然ではありません。n行目が（a＋b）のn乗の係数なので、a＝1、b＝1を代入すると、左辺は（1＋1）のn乗＝2のn乗、右辺はその行の数の合計になります。

斜めに数を足していくと、フィボナッチ数列（1, 1, 2, 3, 5, 8…）が現れます。さらに、奇数のマスだけ色を塗ると、フラクタル図形「シェルピンスキーの三角形」が浮かび上がります。たった一つの足し算ルールから、組み合わせ・式・確率・図形がつながって現れるところに、パスカルの三角形の面白さがあります。

確率とのつながり｜コイン投げで考える

公平なコインをn回投げるとき、表がr回出る並び方はnCr通りです。そのため、n＝4の行「1, 4, 6, 4, 1」は、4回投げて表が0〜4回出る場合の数に対応します。

全結果は2の4乗＝16通りなので、確率は順に1/16、4/16、6/16、4/16、1/16です。「6」は確率そのものではなく場合の数で、確率にするには16で割ります。コインの表裏が同確率で独立という前提も忘れないようにします。

歴史と性質：Wolfram MathWorld「Pascal’s Triangle」。名称以前の中国・ペルシャ・インドでの研究についてはMacTutor History of Mathematicsも参照。

和から式｜3分で確かめる4つの実験

実験	確認できること
n＝0〜5の行を書く	両端1、内側は上2つの和
各行を足す	1, 2, 4, 8, 16, 32＝2のn乗
n＝4の行を16で割る	公平なコイン4回の確率
奇数だけ色を塗る	シェルピンスキー型の模様

「段目」と「n」を混ぜず、最初に一番上をn＝0と書くのがコツです。数の並びを自分で作ると、組み合わせ・二項展開・確率が同じ行に対応していることを確認できます。

和からでは、模様を見つけたら「予想→別の行で確認→式で理由を説明」の順で楽しむことをおすすめしています。たとえば行の和を1、2、4、8と観察して2のn乗と予想し、次の行で確かめたあと、（1＋1）のn乗で説明します。発見と証明を往復すると、暗記ではなく数学のつながりとして残ります。

よくある質問（FAQ）

Q1. パスカルの三角形は何の役に立つのですか？

組み合わせの数や二項展開の係数を、足し算だけで求められます。確率・場合の数の計算で実際に使えますし、何より「シンプルなルールから豊かなパターンが生まれる」数学の面白さを体感できる、格好の題材です。

Q2. 数学が苦手でも楽しめますか？

楽しめます。作り方は「上の2つを足す」だけです。一番上をn＝0として数段書き、行の和が2のn乗になることや、公平なコイン投げの確率に対応することを確かめてみましょう。

Q3. nCr（組み合わせ）が分からなくても理解できますか？

はい。組み合わせの記号を知らなくても、「上の2つを足す」というルールと、できあがる数の並びを眺めるだけで十分楽しめます。興味がわいたら、そこから組み合わせや確率へ広げていくと、理解が深まります。

まとめ｜n＝0から数えると、組み合わせ・展開・確率がそろう

パスカルの三角形は、両端を1、内側を上2つの和として作ります。一番上をn＝0とすると、n行目の数はnCr、行の和は2のn乗で、二項展開や公平なコイン投げの確率と対応します。名称はパスカルに由来しますが、同じ三角形はそれ以前の中国・ペルシャ・インドなどでも研究されていました。

1. 一番上をn＝0として行番号をそろえる
2. n行目は組み合わせnCr、行の和は2のn乗
3. コインの確率は場合の数を2のn乗で割る

とはいえ、「こうした数学の面白さを、もう少し体系立てて学んでみたい」という方も多いはずです。和からの大人の数学教室では、教養としての数学から実務に効く数学まで、一人ひとりの興味に合わせてマンツーマンでサポートしています。まずは無料カウンセリングで、学びたいテーマを一緒に見つけてみませんか。

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<監修／和から株式会社 堀口智之>