指でなぞって零点を探す (「万能零点サーチャーでリーマン予想に辿り着く」のおまけ)
公開日
2025年1月24日
更新日
2025年2月23日
万能零点サーチャーの動画にて、ゼータ関数の零点を求めてみました。しかし、もっと能動的に零点を探したいと思いませんか？今回はそんな方のために開発したアプリを紹介します。
●零点を探すアプリ
～ゼータ関数バージョン～
http://118.27.115.150/mattyuu/zero_searcher/
～n次方程式バージョン～
http://118.27.115.150/mattyuu/zero_searcher_polynomial/
●参考記事
偏角の原理を使って五次方程式を解く
https://wakara.co.jp/mathlog/20201223
偏角の原理を使ってゼータ関数の零点を見つけよう！
https://wakara.co.jp/mathlog/20211221
●講師紹介：松中宏樹
https://wakara.co.jp/instructor/hirok…
●和からHP
手動で零点を探す楽しさ
前回の 「万能零点サーチャーでリーマン予想に辿り着く」 の動画では、万能零点サーチャーを使って リーマンゼータ関数の零点 を見つける様子をお見せしました。
ただ、あの動画では プログラムが自動で零点を追い詰めていく だけで、見ているこちらは何もできませんでした。
自動でやってくれるのは楽ですが、自分の手で零点を探したい と思うのは 数学好き ならではの欲求ですよね。
そこで、指やマウスでなぞって 零点を探すことができるアプリを作ってみました。
変革の原理 を使っているのは 万能零点サーチャー と同じですが、
円を自動で描くのではなく、自分で 自由な形のルート をなぞっていきます。
自由なルートで探索する面白さ
このアプリでは、円以外の形 でも探索できます。
例えば、四角形 や ギザギザの曲線、複雑なルート でも問題ありません。
描いたルートに ゼータ関数の零点 が含まれていれば、「1」 や 「2」 などの数字が表示されます。
これが、その中にある零点の個数 を示しています。
例えば、自明な零点 を探してみましょう。
最初の自明な零点は -2 にあります。
画面上で -2 のあたりを囲むようにルートを描くと、「1」 と表示されました。
次の自明な零点 -4 も同様に囲むと 「1」 が表示されます。
さらに、-2 と -4 を一緒に囲むと 「2」 が表示され、2つの零点が含まれている ことが分かります。
非自明な零点を指で探す
次に、非自明な零点 を探してみましょう。
例えば、実部が 1/2 で 虚部が 14 あたりにあるはずです。
指でそのあたりを囲んでみると、「1」 と表示されました。
さらに、実部 1/2 のラインを上下に辿ると、
次々に 非自明な零点 を見つけることができます。
このアプリの面白いところは、正確な位置を知らなくても、
「この辺にありそうだな」 という感覚で囲んでいくと、
実際に零点がある場所 が分かるところです。
幼い探究心を育む
このアプリを使うことで、将来有望な若き数学者 が、
リーマンゼータ関数の零点 を 直感的に 探す楽しさを味わえるはずです。
数学に興味がある子どもたちが、指先 で リーマン予想 に触れる、
そんな未来を想像しながら作ってみました。
零点以外の遊び方
このアプリのもう一つの面白い機能は、複素関数の性質を体感できる ところです。
例えば、ゼータ関数は s = 1 の点で 極 を持っています。
この点の周りを 1周 すると -1 が表示され、
2周 すると -2 になります。
逆向きに周ると +1 や +2 が表示されるので、
複素積分の性質 を実際に確認することができます。
一般向けの応用: n次方程式の零点探索
このアプリは ゼータ関数 だけでなく、
n次方程式の解 を探す機能も搭載しています。
例えば、 x^2 – 3x + 2 = 0 の場合、
解は 1 と 2 なので、それぞれの周りを一周すると 「1」 が表示されます。
また、複素平面上に 共役な解 がある場合、
それらを含むルートを描くことで、「2」 と表示されるのも面白いところです。
さらに、 x^5 – 32 = 0 のように、
正五角形 に配置された解を探すことも可能です。
実際に指でなぞってみると、
綺麗な五角形 を描くように零点が配置されていることが分かります。
複素数平面 での 根の配置 を体感しながら学べるのは、
数学の 直感的理解 を深めるのに最適です。
おわりに
今回のアプリは、
数学の楽しさを指先で体感 するためのものです。
零点を追い詰めるだけでなく、
自分で描いたルート で 零点を発見する ワクワク感があります。
ゼータ関数の零点探索だけでなく、
一般の複素関数や方程式の解 を探すこともできるので、
数学好き だけでなく、プログラミングやゲーム感覚で遊びたい人 にもおすすめです。
次は、このアプリを使って、
もっと複雑な方程式 や 他の関数の零点 を探していきたいと思います。
ぜひ、あなたの指先でも 未知の零点 を見つけてみてください。
