指でなぞって零点を探す (「万能零点サーチャーでリーマン予想に辿り着く」のおまけ)

万能零点サーチャーの動画にて、ゼータ関数の零点を求めてみました。しかし、もっと能動的に零点を探したいと思いませんか？今回はそんな方のために開発したアプリを紹介します。

●零点を探すアプリ

～ゼータ関数バージョン～

http://118.27.115.150/mattyuu/zero_searcher/

～n次方程式バージョン～

http://118.27.115.150/mattyuu/zero_searcher_polynomial/

●参考記事

偏角の原理を使って五次方程式を解く

https://wakara.co.jp/mathlog/20201223

偏角の原理を使ってゼータ関数の零点を見つけよう！

https://wakara.co.jp/mathlog/20211221

●講師紹介：松中宏樹

https://wakara.co.jp/instructor/hiroki-matsunaka

●和からHP

https://wakara.co.jp/

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手動で零点を探す楽しさ

前回の 「万能零点サーチャーでリーマン予想に辿り着く」 の動画では、万能零点サーチャーを使って リーマンゼータ関数の零点 を見つける様子をお見せしました。

ただ、あの動画では プログラムが自動で零点を追い詰めていく だけで、見ているこちらは何もできませんでした。

自動でやってくれるのは楽ですが、自分の手で零点を探したい と思うのは 数学好き ならではの欲求ですよね。

そこで、指やマウスでなぞって 零点を探すことができるアプリを作ってみました。

偏角の原理 を使っているのは 万能零点サーチャー と同じですが、

円を自動で描くのではなく、自分で 自由な形のルート をなぞっていきます。

自由なルートで探索する面白さ

このアプリでは、円以外の形 でも探索できます。

例えば、四角形 や ギザギザの曲線、複雑なルート でも問題ありません。

描いたルートに ゼータ関数の零点 が含まれていれば、「1」 や 「2」 などの数字が表示されます。

これが、その中にある零点の個数 を示しています。

例えば、自明な零点 を探してみましょう。

最初の自明な零点は -2 にあります。

画面上で -2 のあたりを囲むようにルートを描くと、「1」 と表示されました。

次の自明な零点 -4 も同様に囲むと 「1」 が表示されます。

さらに、-2 と -4 を一緒に囲むと 「2」 が表示され、2つの零点が含まれている ことが分かります。

非自明な零点を指で探す

次に、非自明な零点 を探してみましょう。

例えば、実部が 1/2 で 虚部が 14 あたりにあるはずです。

指でそのあたりを囲んでみると、「1」 と表示されました。

さらに、実部 1/2 のラインを上下に辿ると、

次々に 非自明な零点 を見つけることができます。

このアプリの面白いところは、正確な位置を知らなくても、

「この辺にありそうだな」 という感覚で囲んでいくと、

実際に零点がある場所 が分かるところです。

幼い探究心を育む

このアプリを使うことで、将来有望な若き数学者 が、

リーマンゼータ関数の零点 を 直感的に 探す楽しさを味わえるはずです。

数学に興味がある子どもたちが、指先 で リーマン予想 に触れる、

そんな未来を想像しながら作ってみました。

零点以外の遊び方

このアプリのもう一つの面白い機能は、複素関数の性質を体感できる ところです。

例えば、ゼータ関数は s = 1 の点で 極 を持っています。

この点の周りを 1周 すると -1 が表示され、

2周 すると -2 になります。

逆向きに周ると +1 や +2 が表示されるので、

複素積分の性質 を実際に確認することができます。

一般向けの応用: n次方程式の零点探索

このアプリは ゼータ関数 だけでなく、

n次方程式の解 を探す機能も搭載しています。

例えば、 x^2 – 3x + 2 = 0 の場合、

解は 1 と 2 なので、それぞれの周りを一周すると 「1」 が表示されます。

また、複素平面上に 共役な解 がある場合、

それらを含むルートを描くことで、「2」 と表示されるのも面白いところです。

さらに、 x^5 – 32 = 0 のように、

正五角形 に配置された解を探すことも可能です。

実際に指でなぞってみると、

綺麗な五角形 を描くように零点が配置されていることが分かります。

複素数平面 での 根の配置 を体感しながら学べるのは、

数学の 直感的理解 を深めるのに最適です。

おわりに

今回のアプリは、

数学の楽しさを指先で体感 するためのものです。

零点を追い詰めるだけでなく、

自分で描いたルート で 零点を発見する ワクワク感があります。

ゼータ関数の零点探索だけでなく、

一般の複素関数や方程式の解 を探すこともできるので、

数学好き だけでなく、プログラミングやゲーム感覚で遊びたい人 にもおすすめです。

次は、このアプリを使って、

もっと複雑な方程式 や 他の関数の零点 を探していきたいと思います。

ぜひ、あなたの指先でも 未知の零点 を見つけてみてください。