一筆書きの数学｜ケーニヒスベルクの橋と「つながり」をやさしく

この記事のポイント

・「ケーニヒスベルクの橋」は、7つの橋を一度ずつ全部渡れるかという18世紀の難問
・数学者オイラーが、地図を「点と線」に置き換えて「不可能」を証明した
・つながった図形で一筆書きできる条件は、奇数本の線が集まる点が0個か2個
・この発想が、現代のグラフ理論や配送ルート最適化の出発点になった

子どもの頃に遊んだ「一筆書き」。実はあの遊びの裏に、数学の一大分野の出発点となった有名な問題が隠れています。それが「ケーニヒスベルクの橋」。一筆書きできるかどうかを、線を一本も引かずに見抜く方法を、天才オイラーが見つけたのです。

この記事では、一筆書きの数学を、ケーニヒスベルクの橋の物語とともにやさしく解説します。一筆書きの条件、その背景にある考え方、そして現代への応用まで、累計3万人以上を指導してきた和からの視点でお伝えします。

ケーニヒスベルクの橋とは｜「7つの橋を一度ずつ渡れるか」

18世紀、プロイセンの都市ケーニヒスベルク（現ロシアのカリーニングラード）には、川の中州と両岸を結ぶ7つの橋がありました。そこで町の人々のあいだで、こんな問題が話題になります。

「すべての橋を、一度ずつちょうど通る道順はあるか？」——同じ橋を二度渡ってはいけません。出発地点へ戻ることは必須条件ではありません。それでも多くの人が試し、道順を見つけられませんでした。そこで問題になったのが「本当に不可能なのか」を証明することでした。

オイラーの発想｜地図を「点と線」に変える

図：地図を「点と線」に置き換える

この問題を解いたのが、数学者レオンハルト・オイラーです。彼の発想が見事でした。橋を実際に渡って試すのではなく、地図を思い切って単純化したのです。

オイラーは、陸地を「点」、橋を「線」に置き換えました。土地の形や橋の長さは関係ない。大事なのは「どの陸地が、どの橋でつながっているか」だけ。こうして問題は、点と線でできた図形を「一筆書きできるか」という問題に生まれ変わりました。この「点と線で関係だけを表す」考え方が、後のグラフ理論の始まりです。

一筆書きできる条件｜「奇数の点」を数える

オイラーが見つけた一筆書きの条件は、驚くほどシンプルです。まず、各点について「そこに集まる線の本数」を数えます。そして、その本数が奇数になっている点がいくつあるかを見ます。

ルールはこうです。線のある部分がひと続きになっている図形では、奇数の点が「0個」なら、線が集まる任意の点から始めて出発点に戻る一筆書きができます。「2個」なら、その2点の一方から始めて他方で終わる一筆書きができます。それ以外なら一筆書きはできません。奇数の点だけでなく、図形全体がつながっていることも確認するのが正確な判定です。

なぜケーニヒスベルクは渡れないのか

では、ケーニヒスベルクの橋を点と線で表してみましょう。陸地は4つ。それぞれに集まる橋の本数を数えると、4つの陸地すべてが「奇数」になっていました（3本・3本・3本・5本）。

条件に当てはめると、奇数の点が4個。これは「0個でも2個でもない」ので、一筆書きは不可能。つまり、7つの橋を一度ずつ渡る道順は存在しない、と数学的に証明されたのです。何百回試しても成功しなかった理由が、点を数えるだけではっきりしました。「できない」ことを証明できるのが、数学の力です。

身近な応用｜パズルから配送ルートまで

一筆書きの数学は、遊びだけのものではありません。点と線で「つながり」を考えるグラフ理論は、現代社会のあちこちで活躍しています。

たとえば郵便配達や宅配のルート——「すべての道を効率よく通るには？」という問題は、一筆書きの考え方の延長です。ほかにも、鉄道や道路のネットワーク、SNSのつながり、電気回路の設計など、「何と何がつながっているか」が重要な場面すべてで、この発想が使われています。300年前の橋の問題が、今も私たちの生活を支えているのです。

和から式｜「つなぐ・数える・試す」の3ステップ

一筆書きパズルを見たら、まず離れた部分がないかをつなぐ視点で確認し、次に各点へ集まる線を数えます。奇数の点が0個なら同じ点へ戻る道、2個なら奇数の点どうしを結ぶ道を試します。書き始める前に構造を予想し、実際の道順で確かめるのが和から式の楽しみ方です。

根拠資料

• Euler Archive：ケーニヒスベルクの橋に関するオイラーの論文
• MIT OpenCourseWare：Euler trailの成立条件

よくある質問（FAQ）

Q1. 一筆書きできるかは、本当に書かずに分かるのですか？

はい。線のある部分がひと続きかを確認し、各点に集まる線の本数を数えます。奇数の点が0個か2個なら一筆書きが可能です。ただし、実際の道順を作るには始点の選び方や進み方も考えます。

Q2. なぜ「奇数の点」が重要なのですか？

通過点では、入る線と出る線がペアになるため、線は偶数本必要です。奇数の点は「出発点」か「終着点」にしかなれません。一筆書きの出発点と終着点は最大で2つなので、奇数の点は0個か2個でなければならない、というわけです。

Q3. 数学が苦手でも楽しめますか？

楽しめます。難しい計算は一切なく、「線の本数を数える」だけ。身近な一筆書きパズルで、奇数の点を数えて予想し、実際に書いて確かめると、数学が“見抜く道具”になる面白さを体感できます。

まとめ｜「点と線」で見抜く数学

ケーニヒスベルクの橋は、7つの橋を一度ずつ渡れるかという問題で、オイラーが地図を点と線に置き換えて「不可能」を証明しました。線のある部分がひと続きの図形では、奇数の点が0個か2個なら一筆書きできます。この発想が生んだグラフ理論は、今も配送ルートやネットワークで活躍しています。今日のポイントをまとめます。

1. 地図を「点と線」に単純化すると、問題の本質が見える
2. つながった図形で一筆書きできるのは「奇数の点」が0個か2個のとき
3. ケーニヒスベルクは奇数の点が4個＝一筆書き不可だった

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<監修／和から株式会社 堀口智之>