【ロマ数トレラン】複素解析の視点からの微積分演習

∞セミナー開設の概略∞

実変数の微積分と複素変数の微積分を区別せずに論じるというのは，解析学の基礎を構築するうえで夢のような出来事です.このセミナーではひとつの試みとして，微積分の演習問題を複素変数関数論の視点に立って 全面的に見直して，新たな解法を提案したいと思います.

さまざまな演習問題のうち，一段と華やかな印象を受けるのは積分の問題です.計算の基本は「微分積分学 の基本定理」で，あらかじめなるべく大きな原始関数の一覧表を作成しておいて，部分積分や変数変換を工 夫して一覧表に掲示されている原始関数に帰着させていくという方針で計算が進みます. 変数変換の技巧が巧みに重ねられていますが，ではここに見られるような変数変換はどこからやって来たのでしょうか.また，そもそも積分ができるというのはどのようなことを意味しているのでしょうか.あるいはまた原始関数が求められるのはどのような場合においてなのでしょうか. i=√-1は虚数単位として，複素指数関数を用いて変数変換 z=e^{ix}を実行すると, 微分計算により dz = ie^{ix}dx=izdx，したがって dx=dz/izとなります. またオイラーの公式によりcosx=(z+1/z)/2, sinx=(z-1/z)/2i. したがって,

よって,

と計算が進みます. 実変数 x が 0 から π/2 まで変動するとき z = e^ix は複素 z 平面上の単位円の第 1 象限内の部分をz=1からz=iまで動きます. これで，提示された実積分は複素有理式 8/i · z^3/(z^8 + 6z^4 + 1) の線積分に帰着されました. z^4は複素平面乗の単位円周を左回りに 1 周し，w = (z^4+3-2√2)/(z^4+3+2√2)は w 平面において原点を中心とする半径 3−2√2の円周に沿って左回りに 1 回転します. それゆえ，複素対数関数の解析接続の状況観察に基づいて, 積分値が

と算出されます. これは一例ですが，こんなふうにして相当に多くの実積分の計算が可能になり，なぜ計算できるのかという基本的な問いを考えていく道が開かれます.

複素変数関数論は複素有理式の積分そのものにも適用できます.たとえば積分

の計算には変数変換 x=tan θ を利用するのが定番の手法ですが，この変数変換の由来が明らかになります.

複素変数関数論とは別ですが，変数変換の由来を考えていくのは重要なテーマです.たとえば積分

の計算には

と置くのが定番手法ですが, この変数変換の由来は双曲線y^2-x^2=1の有理関数によるパラメータ表示です. この観点からも多くの変数変換の秘密が明らかになります.

積分計算の根拠は微分計算です.積分計算の再考を通じて実変数と複素変数の微積分の基礎を同等に考えて いくことをめざしたいです.

∞セミナーの形式∞

本セミナーでは、大学初等の数学や、力学、電磁気学の知識は前提として、テキストに沿って一般相対論、量子場の理論、そしてこの２つを組み合わせた、量子宇宙論について解説していきます。テキストの行間が広い箇所や、数式の補足は別途資料をご用意しながら進めていきます。

難解なこの分野に挑戦していく方への入門となります。みんなで学んでいくスタイルなので、いまさら聞きづらい、ということでも質問もしやすく、1人で勉強するのが難しいと感じている方にも最適です。

∞本編受講希望者の方向けの注意事項∞

・通信トラブル等が発生した時に、講師、受講生で円滑に連絡を取り合えるようLINEグループを作成します。LINEグループへの参加は必須とさせていただきますので、予めご了承ください。
・オンラインセミナー受講の際に必要となるパソコン、タブレットまたはスマホ等の通信機器、およびWiFi等のインターネット接続サービスは受講生ご自身でご準備いただきます。
・Apple Pencilなどのスタイラスペンやペンタブなど、画面にペンによる書き込み、描画を行える環境をご準備いただくことを推奨いたします。
・各セミナーの録画動画を最終回の1か月後である2021年1月5日まで視聴できるようにしますので、出席できない回は動画での受講が可能です。
・欠席者には録画動画だけでなく、セミナーで使用する配布資料(pdfファイルやurl等)も出席者同様配布いたします。

∞ロマ数トレランとは∞

「時間はかかってもいいから数学の美しさを中身からしっかり理解したい！」
聞いているだけでわくわくする華やかなテーマが満載のロマンティック数学ゼミ。
その根底となる理論からしっかり学びたい。ロマ数トレランはそんな声から生まれました。

ロマ数トレランは、ロマン溢れる数学を語ることができる講師による、講義形式ではなく、双方向の対話に重きをおいた受講者参加型の少人数制ゼミです。
実際に手を動かしたり、しっかりと質問、議論をする時間を設けることで
内容を確実に理解することを目標とします。同じ気持ちをもった仲間と一緒に学んだ先には新しい数学の世界が待っています。

～トレランとは～
山を縦走する山岳レースを意味するトレイルランニングの略です。
急坂は大変な時はありますが、いったん頂上に上がれば壮大な風景を楽しむことができます。
数学も同じです！平坦な道も、下り坂も、そして時にはハードな時もありますが、頑張って登りきれば素晴らしい風景が広がっているのです！

※ロマ数トレランでは受講生の理解に合わせて講師が適切な速度になるよう誘導しますが、受講者の理解を優先するため、カリキュラムの進度は確約いたしかねますので、予めご了承ください。
※質問の内容がセミナーの趣旨とそれる場合や、セミナーの適切な進行の妨げになると講師が判断した場合には、解説はセミナー内ではなく別途個別指導をご受講いただくようご案内することがあります。
※ロマ数トレランにはビデオ視聴以外に欠席保証はございません。ビデオは出席の有無に関わらずご視聴いただけます。

∞企画運営∞

和から株式会社
渋谷（本社）・新橋・大阪にて社会人向けの数学個別指導教室「大人のための数学教室 和（なごみ）」や「大人のための統計教室和」を運営。数学が苦手な大人から 数学の業務・研究応用を目的としているマーケター、経営者、大学教授のお客様向けに数学や統計学の授業を日々提供している。企業におけるデータセンス研修やデータ分析研修も実施。
和から株式会社HPはこちら>>

∞お問い合わせ∞

和から株式会社 松中宏樹
MAIL：class@wakara.co.jp