高木貞治先生の著作『解析概論』の初版が刊行されたのは昭和13年（1938年）のことですから，それから今日まで86年という歳月が流れています．この86年の間にはさまざまな人の手でおびただしい数の微積分のテキストが刊行されましたが，『解析概論』はそれらすべての模範になりました．古いテキストですが味わいが深く，魅力があり，いたるところで謎めいた言葉に出会い，強くこころを惹かれ，微積分とは何かという問いをめぐって深い思索の世界に誘われます．それらの言葉をなるべく多く採集して考察し，微積分の真の姿にせまりたいと思います．

『解析概論』の最大の特色は，実変数の関数の微積分を語りながら，その背景に広がる複素変数関数の微積分の世界が絶えず意識されているところに現れています．その様子は，たとえば次に挙げる高木先生の言葉にはっきりと示されています．

変数を実数に限ってもarcsin, arccos, arctanの多意性がlogの多意性の下にと統一される．

実変数に関する三角函数，双曲線函数は複素変数に関する指数函数の一断面にほかならないから，それらの逆函数がすべて対数函数に包括されるのである．この認識は大切である．

上記の関係（註．逆三角関数arcsin, arccos, arctanと複素対数を結ぶ関係式）は形式上はすでに十八世紀（Euler）において知られていたのであるが，その根本的の意味は十九世紀以後，複素変数が徹底的に考察された後に初めて明らかになって，そこから驚嘆すべき単純化が可能になったのである．初等函数といえども，複素変数にまで次元の拡張をしなくては完全に統制されないのである．（212頁）

この高木先生の言葉をつねに念頭に置いて，『解析概論』そのものを複素解析の視点から読んでみたいと思います．

微積分の本質に向けて理解を深めるうえで問題演習には大きな効果がありますが，流布している解答を見るといろいろな技巧が組合されていて，なかにはとても思いつきそうにないものも多いです．こうすれば解けるということはわかっても，どうしてそうすれば解けるのかという根本のところまではなかなかわかりませんが，根本の理由を踏まえて解くのが理想です．高木先生の『解析概論』にはそのあたりの諸事情がわりと明快に示唆されていますので，参考になります．特に，実変数の微積分の問題を複素解析の視点から眺めると，問題の本質が明瞭に理解されることがしばしばあります．また，実変数の微積分の問題の中には，複素解析の視点に立つことによってはじめて真相が理解できるものもたくさんあります．この観点は特に積分計算の場合に顕著です．

微積分演習のもうひとつの課題はdxやdyの使用法です．これらのdx, dyはそれぞれ変数x, yの微分と呼ばれる無限小の変数ですが，これらを自由に駆使するところに微積分の計算の真髄が宿っています．この傾向は特に微分法の問題の場合に顕著です．

共立出版から出ている『詳解　微積分演習　I, II』には実に多くの演習問題が集められていて，詳しい解答がついています．それらはいわば標準的な解答です．これに対し，あるいは複素解析の視点に立ち，またあるいは無限小の世界に沈潜して問題の解答を試みてみたいです．両者それぞれの解答の比較を通じて微積分の本質に寄せて理解を深めたいと思います．