※8月6日に開催された無料ガイダンス回の動画はこのページの「セミナーの様子」からご覧いただけます。

∞セミナーの概要∞

ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式は整数論における重要な有理数列および有理係数多項式列です。
ベルヌーイ数やベルヌーイ多項式が整数論に現れる例を2つほど挙げてみましょう。

1つ目は、べき乗和の公式です。
我々は高校数学でべき乗和の公式を学びますが、よくよく観察していくとベルヌーイ多項式が関わっています。
ベルヌーイ多項式を使うとべき乗和の公式を明示的に書くことができるのです。
また、高校生のときに3乗和の公式が1乗和の公式の2乗になっていることを不思議に思いませんでしたか？
実はこの関係もベルヌーイ多項式を使えば説明をすることができます。

2つ目は、リーマンゼータ関数です。
リーマンゼータ関数とは素数と密接な関わりのある複素関数です。
リーマンゼータ関数の正の偶数点の値が (有理数)×(πのべき乗) で表されることは有名ですが、この有理数部分にベルヌーイ数が現れます。
さらに、リーマンゼータ関数の負の整数点での値もベルヌーイ数を用いて記述することができます。
もちろんベルヌーイ数やベルヌーイ多項式はこの他にも整数論のあらゆる分野で現れます。

一方で、ベルヌーイ数やベルヌーイ多項式はそれら自身にも魅力的な性質が備わっています。
例えば、有理数であるベルヌーイ数を既約分数で表したとき、その分母がある条件を満たす素数の積で書けるというvon-Staudt Clausenの定理が知られています。
他にも、秋山-谷川のアルゴリズムという、パスカルの三角形のベルヌーイ数に対するアナロジーが存在します。

また、ベルヌーイ数やベルヌーイ多項式は組み合わせ論の分野にも顔を出します。
例えば、(1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3) のように数の大小関係が入れ替わるような数の並びのことを交代順列といいますが、この交代順列の数え上げを行おうとするとベルヌーイ数とベルヌーイ多項式が顔を出します。
他にも、ロンサム行列というゲームのピクロスのような行列があり、このロンサム行列の数え上げにはベルヌーイ数を多重化した多重ベルヌーイ数が現れます。

本セミナーでは上述したようなベルヌーイ数とベルヌーイ多項式の魅力を学びます。

∞セミナーの目的∞

上述したように、本セミナーではベルヌーイ数とベルヌーイ多項式を主に扱います。
具体的な目標は以下の3つです。
(1)ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式の基本性質の理解
(2)ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式の整数論への応用の理解
(3)ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式の組み合わせ論への応用の理解

∞セミナーの形式∞

本セミナーは講師が用意したテキストを元に講義と質疑応答、演習をミックスした形式で実施します。
講師が用意したテキストは以下の文献から作成されています。
(1)Rademacher, Hans. Topics in analytic number theory. Vol. 169. Springer Science & Business Media, 2012.
(2)Kaneko, Masanobu. “The Akiyama-Tanigawa algorithm for Bernoulli numbers.” Journal of Integer Sequences 3.2 (2000).
(3)Stanley, Richard P. “A survey of alternating permutations.” Contemp. Math 531 (2010): 165-196.
(4)Kaneko, Masanobu. “Poly-Bernoulli numbers.” Jour. Th. Nombre Bordeaux, 9 (1997): 199-206.
(5)SHIKATA, Miku. “Lonesum matrices and poly-Bernoulli numbers.” (2011).

∞本編受講希望者の方向けの注意事項∞

・通信トラブル等が発生した時に、講師、受講生で円滑に連絡を取り合えるようLINEグループを作成します。LINEグループへの参加は必須とさせていただきますので、予めご了承ください。
・オンラインセミナー受講の際に必要となるパソコン、タブレットまたはスマホ等の通信機器、およびWiFi等のインターネット接続サービスは受講生ご自身でご準備いただきます。
・Apple Pencilなどのスタイラスペンやペンタブなど、画面にペンによる書き込み、描画を行える環境をご準備いただくことを推奨いたします。
・欠席者には録画動画だけでなく、セミナーで使用する配布資料(pdfファイルやurl等)も出席者同様配布いたします。

∞ロマ数トレランとは∞

「時間はかかってもいいから数学の美しさを中身からしっかり理解したい！」
聞いているだけでわくわくする華やかなテーマが満載のロマンティック数学ゼミ。
その根底となる理論からしっかり学びたい。ロマ数トレランはそんな声から生まれました。

ロマ数トレランは、ロマン溢れる数学を語ることができる講師による、講義形式ではなく、双方向の対話に重きをおいた受講者参加型の少人数制ゼミです。
実際に手を動かしたり、しっかりと質問、議論をする時間を設けることで
内容を確実に理解することを目標とします。同じ気持ちをもった仲間と一緒に学んだ先には新しい数学の世界が待っています。

～トレランとは～
山を縦走する山岳レースを意味するトレイルランニングの略です。
急坂は大変な時はありますが、いったん頂上に上がれば壮大な風景を楽しむことができます。
数学も同じです！平坦な道も、下り坂も、そして時にはハードな時もありますが、頑張って登りきれば素晴らしい風景が広がっているのです！

※ロマ数トレランでは受講生の理解に合わせて講師が適切な速度になるよう誘導しますが、受講者の理解を優先するため、カリキュラムの進度は確約いたしかねますので、予めご了承ください。
※質問の内容がセミナーの趣旨とそれる場合や、セミナーの適切な進行の妨げになると講師が判断した場合には、解説はセミナー内ではなく別途個別指導をご受講いただくようご案内することがあります。
※ロマ数トレランにはビデオ視聴以外に欠席保証はございません。ビデオは出席の有無に関わらずご視聴いただけます。