∞リーマン面の原型を認識し、複素多様体の概念の誕生の経緯を追体験する∞

本セミナーの目標は二つあります。ひとつはリーマンの学位論文を概観してリーマン面の原型を認識すること、もうひとつはヘルマン・ワイルの著作『リーマン面のイデー』により複素多様体の概念の誕生の経緯を追体験することです。

今日の複素変数関数論の源泉を求めて数学史をさかのぼると、コーシー、ヴァイエルシュトラス、それにリーマというン三つの泉に出会います。コーシーのねらいは算出の困難な実定積分の数値を求めることにあり、留数解析と呼ばれる手法を提案することによりこの課題に応じました。これに対しヴァイエルシュトラスとリーマンの手にはアーベルとヤコビが建設した楕円関数論と超楕円関数論がありました。アーベルは楕円関数論の延長線上に超楕円関数論を構想し、これを受けてヤコビは「ヤコビの逆問題」と呼ばれる問題を提示しました。これを解決することはヴァイエルシュトラスとリーマンの共通の課題となり、そのためにそれぞれに固有の仕方で複素変数関数論の一般理論が建設されることになりました。その際、リーマンが全理論の土台に据えたのがリーマン面の概念でした。リーマンは1851年の学位論文でその様子を詳細に叙述していますので、それを概観することが本セミナーのひとつ目的です。

　リーマンの学論文から60年余ののち、ヘルマン・ワイルの著作『リーマン面のイデー』が出版されました。ワイルはリーマンが提案したリーマン面の概念の本性を深く考察し、今日の語法でいう複素多様体の概念を造形しました。これが今日の複素多様体論の出発点になりました。そこでワイルはリーマンの学位論文をどのように読んだのかという問いを立てて、ワイルの著作を概観したいと思います。これが本セミナーのもうひとつの目標です。