複素数の世界における整数論の認識を深め、数論が複素数の世界に移った経緯を紐解く

全10回の講義を通じて、エーリッヒ・ヘッケの著作『代数的数論講義』に沿って代数的整数論の全体像を紹介したいと思います。代数的整数論はいわば「複素数の」整数論」で、その泉はガウスが創造した「4次剰余の理論」ですが、これに先立ってガウスは“Disquisitiones Arithmeticae（ディスクイジチオネス・アリトメチカエ）という大きな著作を出版しています。Disquisitionesは「研究」という意味の名詞の複数形、Arithmeticaeは「アリトメチカに関する」という意味の形容詞で、アリトメチカというのは古代ギリシアに由来する言葉で、「数の理論」という意味ですから、ガウスの著作は「数の理論に関する研究」ということになります。簡潔に「数論研究」と呼んでもよいと思います。以下、D.A.と略称することにします。D.A.が土台になって、その上に４次剰余の理論が構築されました。

ガウスの次の世代のドイツの数学者にディリクレがいて、ディリクレは１７歳のときパリに行き、フランスの数学者たちとの交友の中で数学を学んだのですが、パリに向うときガウスのD.A.をもっていました。生涯にわたってD.A.を読み続けたといわれているほどで、後年ガウスの没後ゲッチンゲン大学の教授になったときの講義題目のひとつが数論でした。自分が理解したD.A.を講義したのでした。聴講者の中に私講師になっていたデデキントがいました。デデキントはディリクレの講義を再現して『ディリクレの数論講義』という著作を出版したのですが、初版から第４版まで版を重ねる中でそのつど巻末にデデキント自身の研究ノートを添えました。そこで取り上げられたのが代数的整数論です。デデキントはガウスの４次剰余の理論も承知していて、ガウスの数論全体を包み込むような大きな理論の構築をめざしていました。

代数的整数論は最後に高木貞治先生の類体論が出現して一段落という恰好になりました。類体論のアイデアを提出したのは高木先生の師匠のヒルベルト。そのヒルベルトのもとで数論を学んだのはエーリッヒ・ヘッケで、ヘッケはバーゼル、ゲッチンゲン、ハンブルクの大学で代数的整数論の講義を続けました。その講義録が出版されたのがきっかり100年前の1923年です。その当時の代数的整数論の全容が描かれていて、具体的な数値計算の事例に基づいてていねいに説明されています。代数的整数論への叙説としてもっとも相応しいテキストです。高木先生の著作『初等整数論講義』も適宜参照し、全10回のトレランの終了時には2冊のテキストをほぼ読了した状態になっていることをめざします。