平方剰余相互法則は今日の整数論の根幹を支える基本定理ですが、この法則が発見されて証明されるまでにはさまざまな経緯がありました。なかでもルジャンドルとガウスの確執はよく知られています。ルジャンドルはガウスよりも早く発見し、証明を試みましたが、少し遅れてルジャンドルとは独立に発見したガウスはルジャンドルの証明にきびしい批判を加えて一蹴し、正確な証明に成功した最初の人になりました。ところが19世紀の後半期にクロネッカーの考証が現れて、ルジャンドルとガウスよりも前にオイラーがすでに発見していたことが明らかになりました。しかも三者三様、オイラーもルジャンドルもガウスもそれぞれ異なる動機に誘われて同じ法則に導かれたのでした。このあたりの経緯を詳細に追っていくと、おのずと数論の世界へと深く分け入っていくことになります。

フェルマが遺した数論の命題の中に「フェルマの小定理」と「直角三角形の基本定理」があります。フェルマの小定理はよく知られていると思いますが、最初の証明に成功したのは若い日のオイラーでした。直角三角形の基本定理というのは、
5=1+4, 13=4+9, 17=1+16, 29=4+25, 37=1+36, 41=16+25, …
というように、「4で割ると1が余る素数は二つの平方数の和の形にただ一通りの仕方で表される」という命題です。オイラーはこれを正しく証明しましたが、その証明を支えていたのはフェルマの小定理と平方剰余相互法則の第1補充法則でした。オイラーはここからなお歩を進め、ついに平方剰余相互法則そのものに到達しています。

ガウスは1795年の年初、たまたま平方剰余相互法則の第1補充法則を発見し、それがきっかけとなって数論に踏み込んでいって、Disquisitiones Arithmeticae（ディスクィジティオネス・アリトメチカエ．D.A.と略称。アリトメチカ研究）という大きな著作を出しました。オイラーとガウスは数論の同じ真理を発見したのですが、オイラーが長い探究の最後に到達したのに対し、ガウスの場合にはこの発見が出発点でした。このような現象が現れたのはなぜなのでしょうか。

オイラーとガウスを中心にして、ラグランジュとルジャンドルにも留意しつつ、これらの人びとの論文や著作に沿って数論を具体的に観察したいと思います。